动态规划基础：背包问题详解

动态规划基础：背包问题

一、0-1 背包问题

**概述：**给定一组物品，每个物品有重量和价值，在限定的总重量内选择物品，使得总价值最大。每个物品最多只能选择一次（选或不选）。

**问题描述：**物品重量数组 v，物品价值数组 w，背包容量 W。在不超过背包容量的情况下，问能装入物品的最大价值。

**思考方式：**0-1 背包问题可以按照状态转移图来分析。

二维状态解法：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int v[N], w[N]; // v 表示体积，w 表示价值
int dp[N][N];   // dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包的最大价值

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 不选第 i 个物品
            if (j >= v[i]) {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 选第 i 个物品
            }
        }
    }
    cout << dp[n][m];
    return 0;
}

空间优化思路： 将状态 dp[i][j] 优化到一维 dp[j]。定义 dp[j] 为容量为 j 时的最优解。 注意枚举背包容量 。这是因为在一维情况下，如果正序更新， 可能已经被当前轮次更新过，导致重复选取同一物品，违背 0-1 背包规则。逆序则保证了使用的是上一轮的状态。