C++ 二叉搜索树：概念、性能分析与代码实现

C++ 二叉搜索树

一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树
• 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义。后续学习 map/set/multimap/multiset 系列容器底层就是二叉搜索树，其中 map/set 不支持插入相等值，multimap/multiset 支持插入相等值。

二、二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树 (或者接近完全二叉树)，其高度为：log2 N

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树 (或者类似单支)，其高度为：N

所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，后续需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树 AVL 树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

三、二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给 root 指针
2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）

SearchBinaryTree.h

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

template<class K>
struct BSTNode {
    K _key;
    BSTNode<K>* _left;
    BSTNode<K>* _right;
    BSTNode( K& key) :_key(key), _left(), _right() {}
};

< >
  {
     BSTNode<K> Node;
:
    {
         (_root == ) {
            _root =  (key);
             ;
        }
        Node* parent = ;
        Node* cur = _root;
         (cur) {
             (cur->_key < key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }   (cur->_key > key) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }  {
                 ;
            }
        }
        cur =  (key);
         (parent->_key < key) {
            parent->_right = cur;
        }  {
            parent->_left = cur;
        }
         ;
    }
    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }
:
     _InOrder(Node* root) {
         (root == ) {
            ;
        }
        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_key << ;
        _InOrder(root->_right);
    }
    Node* _root = ;
};