一、unordered 系列关联式容器
在 C++98 中，STL 提供了底层为红黑树结构的一系列关联式容器，查询效率为 O(logN)。在 C++11 中，STL 提供了 4 个 unordered 系列的关联式容器，底层结构不同，本文主要介绍 unordered_map 和 unordered_set。
1.1 unordered_map
1.1.1 unordered_map 的文档介绍
- unordered_map 是存储键值对的关联式容器，允许通过 keys 快速索引到对应的 value。
- 键值通常用于惟一地标识元素，映射值是一个对象。键和映射值的类型可能不同。
- 内部无序，相同哈希值的键值对放在相同的桶中，以便常数范围内找到 key 对应的 value。
- 通过 key 访问单个元素比 map 快，但遍历元素子集的范围迭代方面效率较低。
- 实现了直接访问操作符 operator[]，允许使用 key 作为参数直接访问 value。
- 迭代器至少是前向迭代器。
1.1.2 unordered_map 的接口说明
- 构造
- 容量
- 迭代器
- 元素访问
注意：该函数实际调用哈希桶的插入操作，用参数 key 与 V() 构造一个默认值往底层哈希桶中插入。如果 key 不在哈希桶中，插入成功，返回 V()；插入失败，说明 key 已经在哈希桶中，将 key 对应的 value 返回。 - 查询
注意：unordered_map 中 key 不能重复，因此 count 函数的返回值最大为 1。 - 修改操作
- 桶操作
1.2 标准库中的 unordered_map
1.2.1 unordered_map 的介绍
- 无序性：元素没有特定顺序，排列由哈希函数决定。
- 快速访问：提供非常快速的查找、插入和删除操作。
- 唯一性：键是唯一的，尝试插入已存在的键会覆盖旧值。
- 哈希函数：默认提供哈希函数，也可自定义。
- 迭代器：提供迭代器遍历，但顺序与插入顺序无关。
unordered_map 和 unordered_set 的接口说明差不多，在此就不做过多的介绍了。
二、底层结构
unordered 系列的关联式容器之所以效率高，是因为其底层使用了哈希结构。
2.1 哈希概念
顺序结构及平衡树中，元素关键码与其存储位置无对应关系，查找需多次比较。顺序查找时间复杂度为 O(N)，平衡树中为 O(log₂N)。
理想的搜索方法：可以不经过任何比较，一次直接从表中得到要搜索的元素。如果构造一种存储结构，通过某种函数 (hashFunc) 使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系，那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素。
例如：数据集合 {1, 7, 6, 4, 5, 9}；哈希函数设置为：hash(key) = key % capacity; capacity 为存储元素底层空间总的大小。
2.2 哈希冲突
对于两个数据元素的关键字 ki 和 kj(i != j)，有 ki != kj，但有 Hash(ki) == Hash(kj)，即不同关键字通过相同哈希函数计算出相同的哈希地址，该种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。 把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为'同义词'。
2.3 哈希函数
引起哈希冲突的一个原因可能是哈希函数设计不够合理。
哈希函数设计原则：
- 定义域必须包括需要存储的全部关键码，值域必须在 0 到 m-1 之间。
- 计算出来的地址能均匀分布在整个空间中。
- 应该比较简单。
常见哈希函数：
- 取关键字的某个线性函数：Hash(Key) = A*Key + B。优点简单、均匀；缺点需事先知道关键字分布。
- 除留余数法（常用）：Hash(key) = key % p(p 为质数)。
- 平方取中法：抽取中间位作为哈希地址。
- 折叠法：分割关键字叠加求和，取后几位。
- 随机数法：H(key) = random(key)。
- 数学分析法：选择分布均匀的若干位作为散列地址。
注意：哈希函数设计的越精妙，产生哈希冲突的可能性就越低，但是无法避免哈希冲突。
2.4 哈希冲突解决
解决哈希冲突两种常见的方法是：闭散列和开散列。
2.4.1 闭散列
闭散列：也叫开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，可以把 key 存放到冲突位置中的'下一个'空位置中去。
- 线性探测
从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。
- 插入：通过哈希函数获取位置，若冲突则线性探测找空位。
- 删除：采用标记的伪删除法来删除一个元素，不能物理删除，否则影响其他元素搜索。
template<class K> struct DefaultHashFunc {
size_t operator()(const K& key) { return (size_t)key; }
};
template<> struct DefaultHashFunc<string> {
size_t operator()(const string& str) {
size_t hash = 0;
for (auto ch : str) { hash *= 131; hash += ch; }
return hash;
}
};
namespace open_address {
enum STATE { EXIST, EMPTY, DELETE };
template<class K, class V> struct HashData {
pair<K, V> _kv;
STATE _state = EMPTY;
};
template<class K, class V, class HashFunc = DefaultHashFunc<K>> class HashTable {
public:
HashTable() { _table.resize(10); }
bool Insert( pair<K, V>& kv) {
((kv.first)) { ; }
(_n * / _table.() >= ) {
newSize = _table.() * ;
HashTable<K, V, HashFunc> newHT;
newHT._table.(newSize);
( i = ; i < _table.(); i++) {
(_table[i]._state == EXIST) { newHT.(_table[i]._kv); }
}
_table.(newHT._table);
}
HashFunc hf;
hashi = (kv.first) % _table.();
(_table[hashi]._state == EXIST) { ++hashi; hashi %= _table.(); }
_table[hashi]._kv = kv;
_table[hashi]._state = EXIST;
++_n;
;
}
{
HashFunc hf;
hashi = (key) % _table.();
(_table[hashi]._state != EMPTY) {
(_table[hashi]._state == EXIST && _table[hashi]._kv.first == key) {
(HashData< K, V>*) & _table[hashi];
}
++hashi; hashi %= _table.();
}
;
}
{
HashData< K, V>* ret = (key);
(ret) { ret->_state = DELETE; --_n; ; }
;
}
:
vector<HashData<K, V>> _table;
_n = ;
};
}
线性探测优点：实现非常简单。 线性探测缺点：一旦发生哈希冲突，所有的冲突连在一起，容易产生数据'堆积'，导致搜索效率降低。
- 二次探测 为了避免数据堆积，找下一个空位置的方法为：Hi = (H0 + i²) % m 或 Hi = (H0 - i²) % m。 研究表明：当表的长度为质数且表装载因子 a 不超过 0.5 时，新的表项一定能够插入。
2.4.2 开散列
-
开散列概念 开散列法又叫链地址法，首先对关键码集合用散列函数计算散列地址，具有相同地址的关键码归于同一子集合（桶），各个桶中的元素通过一个单链表链接起来。
-
开散列实现
namespace hash_bucket {
template<class T> struct HashNode {
T _data;
HashNode<T>* _next;
HashNode(const T& data) :_data(data), _next(nullptr) {}
};
template<class K, class T, class KeyOfT, class HashFunc> class HashTable;
template<class K, class T, class Ptr, class Ref, class KeyOfT, class HashFunc> struct HTIterator {
typedef HashNode<T> Node;
typedef HTIterator<K, T, Ptr, Ref, KeyOfT, HashFunc> Self;
typedef HTIterator<K, T, T*, T&, KeyOfT, HashFunc> Iterator;
Node* _node;
const HashTable<K, T, KeyOfT, HashFunc>* _pht;
HTIterator(Node* node, const HashTable<K, T, KeyOfT, HashFunc>* pht) :_node(node), _pht(pht) {}
Ref operator*() { return _node->_data; }
Ptr operator->() { return &_node->_data; }
Self& operator++() {
if (_node->_next) { _node = _node->_next; }
else {
KeyOfT kot; HashFunc hf;
hashi = ((_node->_data)) % _pht->_table.();
++hashi;
(hashi < _pht->_table.()) {
(_pht->_table[hashi]) { _node = _pht->_table[hashi]; *; }
{ ++hashi; }
}
_node = ;
}
*;
}
!=( Self& s) { _node != s._node; }
==( Self& s) { _node == s._node; }
};
}
开散列的思考：
- 非整形 key 处理：需提供将 key 转化为整形的方法。
- 素数扩容：最好模一个素数，可预置素数列表快速取类似两倍关系的素数。
size_t GetNextPrime(size_t prime) {
static const int __stl_num_primes = 28;
static const unsigned long __stl_prime_list[__stl_num_primes] = {
53, 97, 193, 389, 769, 1543, 3079, 6151, 12289, 24593, 49157, 98317,
196613, 393241, 786433, 1572869, 3145739, 6291469, 12582917, 25165843,
50331653, 100663319, 201326611, 402653189, 805306457, 1610612741,
3221225473, 4294967291
};
size_t i = 0;
for (; i < PRIMECOUNT; ++i) {
if (__stl_prime_list[i] > prime) return __stl_prime_list[i];
}
return __stl_prime_list[i];
}
2.5 开散列与闭散列比较
应用链地址法处理溢出，需要增设链接指针，似乎增加了存储开销。事实上：由于开地址法必须保持大量的空闲空间以确保搜索效率，所以使用链地址法反而比开地址法节省存储空间。
三、模拟实现
3.1 哈希表的改造
3.1. 模板参数列表的改造
template<class K, class T, class KeyOfT, class HashFunc = DefaultHashFunc<K>>
class HashTable {
typedef HashNode<T> Node;
template<class K, class T, class Ptr, class Ref, class KeyOfT, class HashFunc>
friend struct HTIterator;
};
3.2. 增加迭代器操作
template<class K, class T, class KeyOfT, class HashFunc> class HashTable;
template<class K, class T, class Ptr, class Ref, class KeyOfT, class HashFunc>
struct HTIterator {
// ... 同上 HTIterator 实现
};
3.3 增加通过 key 获取 value 操作
template<class K, class T, class KeyOfT, class HashFunc = DefaultHashFunc<K>>
class HashTable {
typedef HashNode<T> Node;
template<class K, class T, class Ptr, class Ref, class KeyOfT, class HashFunc>
friend struct HTIterator;
public:
typedef HTIterator<K, T, T*, T&, KeyOfT, HashFunc> iterator;
typedef HTIterator<K, T, const T*, const T&, KeyOfT, HashFunc> const_iterator;
iterator begin() {
for (size_t i = 0; i < _table.size(); i++) {
Node* cur = _table[i];
if (cur) { return iterator(cur, this); }
}
return iterator(nullptr, this);
}
iterator end() { return iterator(nullptr, ); }
{
( i = ; i < _table.(); i++) {
Node* cur = _table[i];
(cur) { (cur, ); }
}
(, );
}
{ (, ); }
{ }
() { _table.((), ); }
~() {
( i = ; i < _table.(); i++) {
Node* cur = _table[i];
(cur) { Node* next = cur->_next; cur; cur = next; }
_table[i] = ;
}
}
{
KeyOfT kot; iterator it = ((data));
(it != ()) { (it, ); }
HashFunc hf;
(_n == _table.()) {
newSize = (_table.());
vector<Node*> newTable;
newTable.(newSize, );
( i = ; i < _table.(); i++) {
Node* cur = _table[i];
(cur) {
Node* next = cur->_next;
hashi = ((cur->_data)) % newSize;
cur->_next = newTable[hashi];
newTable[hashi] = cur;
cur = next;
}
_table[i] = ;
}
_table.(newTable);
}
hashi = ((data)) % _table.();
Node* newnode = (data);
newnode->_next = _table[hashi];
_table[hashi] = newnode;
++_n;
((newnode, ), );
}
{
HashFunc hf; KeyOfT kot;
hashi = (key) % _table.();
Node* cur = _table[hashi];
(cur) {
((cur->_data) == key) { (cur, ); }
cur = cur->_next;
}
();
}
{
HashFunc hf; KeyOfT kot;
hashi = (key) % _table.();
Node* prev = ; Node* cur = _table[hashi];
(cur) {
((cur->_data) == key) {
(prev == ) { _table[hashi] = cur->_next; }
{ prev->_next = cur->_next; }
--_n; cur; ;
}
prev = cur; cur = cur->_next;
}
;
}
:
vector<Node*> _table;
_n = ;
};
3.2 unordered_map
#include"HashsTable.h"
namespace lxp {
template<class K, class V> class unordered_map {
struct MapKeyOfT {
const K& operator()(const pair<const K, V>& kv) { return kv.first; }
};
public:
typedef typename hash_bucket::HashTable<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT>::iterator iterator;
typedef typename hash_bucket::HashTable<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT>::const_iterator const_iterator;
iterator begin() { return _ht.begin(); }
iterator end() { return _ht.end(); }
const_iterator begin() const { return _ht.begin(); }
const_iterator end() const { return _ht.end(); }
pair<iterator, bool> insert( pair<K, V>& kv) { _ht.(kv); }
V& []( K& key) {
pair<iterator, > ret = _ht.((key, ()));
ret.first->second;
}
:
hash_bucket::HashTable<K, pair< K, V>, MapKeyOfT> _ht;
};
}
3.3 unordered_set
#include"HashsTable.h"
namespace lxp {
template<class K> class unordered_set {
struct SetKeyOfT {
const K& operator()(const K& key) { return key; }
};
public:
typedef typename hash_bucket::HashTable<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator iterator;
typedef typename hash_bucket::HashTable<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator const_iterator;
const_iterator begin() const { return _ht.begin(); }
const_iterator end() const { return _ht.end(); }
pair<const_iterator, bool> insert(const K& key) {
pair<typename hash_bucket::HashTable<K, K, SetKeyOfT>::iterator, bool> ret = _ht.Insert(key);
return pair<const_iterator, bool>(ret.first, ret.second);
}
private:
hash_bucket::HashTable<K, K, SetKeyOfT> _ht;
};
}
四、哈希的应用
4.1 位图
4.1.1 位图概念
面试题：给 40 亿个不重复的无符号整数，没排过序。给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在这 40 亿个数中。
- 遍历，时间复杂度 O(N)
- 排序 (O(NlogN))，利用二分查找
- 位图解决
所谓位图，就是用每一位来存放某种状态，适用于海量数据，数据无重复的场景。通常是用来判断某个数据存不存在的。
4.1.2 位图的实现
#include<vector> #include<iostream> using namespace std;
namespace lxp {
template<size_t N> class bitset {
public:
bitset() { _a.resize(N / 32 + 1); }
void set(size_t x) {
size_t i = x / 32; size_t j = x % 32;
_a[i] |= (1 << j);
}
void reset(size_t x) {
size_t i = x / 32; size_t j = x % 32;
_a[i] &= (~(1 << j));
}
bool test(size_t x) {
size_t i = x / 32; size_t j = x % 32;
return _a[i] & (1 << j);
}
private:
vector<int> _a;
};
template<size_t N> class twobitset {
public:
void {
(!_bs(x) && !_bs(x)) { _bs(x); }
(!_bs(x) && _bs(x)) { _bs(x); _bs(x); }
}
{ !_bs(x) && _bs(x); }
:
bitset<N> _bs1; bitset<N> _bs2;
};
}
4.1.3 位图的应用
- 快速查找某个数据是否在一个集合中
- 排序 + 去重
- 求两个集合的交集、并集等
- 操作系统中磁盘块标记
4.2 布隆过滤器
4.2.1 布隆过滤器提出
新闻客户端推荐系统如何实现推送去重？用服务器记录了用户看过的所有历史记录。如何快速查找呢？
- 用哈希表存储用户记录，缺点：浪费空间
- 用位图存储用户记录，缺点：位图一般只能处理整形
- 将哈希与位图结合，即布隆过滤器
4.2.2 布隆过滤器概念
布隆过滤器是由 Burton Howard Bloom 在 1970 年提出的一种紧凑型的、比较巧妙的概率型数据结构，特点是高效地插入和查询，可以用来告诉你'某样东西一定不存在或者可能存在'，它是用多个哈希函数，将一个数据映射到位图结构中。
4.2.3 布隆过滤器的插入
struct BKDRHash {
size_t operator()(const string& s) {
size_t value = 0;
for (auto ch : s) { value *= 31; value += ch; }
return value;
}
};
struct APHash {
size_t operator()(const string& s) {
size_t hash = 0;
for (long i = 0; i < s.size(); i++) {
if ((i & 1) == 0) { hash ^= ((hash << 7) ^ s[i] ^ (hash >> 3)); }
else { hash ^= (~((hash << 11) ^ s[i] ^ (hash >> 5))); }
}
return hash;
}
};
struct DJBHash {
size_t operator()(const string& s) {
size_t hash = 5381;
for (auto ch : s) { hash += (hash << 5) + ch; }
return hash;
}
};
template<size_t N, size_t X = , K = string, HashFunc1 = BKDRHash, HashFunc2 = APHash, HashFunc3 = DJBHash>
BloomFilter {
:
( K& key) {
len = X * N;
index1 = ()(key) % len;
index2 = ()(key) % len;
index3 = ()(key) % len;
_bs.(index1); _bs.(index2); _bs.(index3);
}
{
len = X * N;
index1 = ()(key) % len;
(_bs.(index1) == ) ;
index2 = ()(key) % len;
(_bs.(index2) == ) ;
index3 = ()(key) % len;
(_bs.(index3) == ) ;
;
}
;
:
bitset<X* N> _bs;
};
4.2.4 布隆过滤器的查找
布隆过滤器的思想是将一个元素用多个哈希函数映射到一个位图中，因此被映射到的位置的比特位一定为 1。所以可以按照以下方式进行查找：分别计算每个哈希值对应的比特位置存储的是否为零，只要有一个为零，代表该元素一定不在哈希表中，否则可能在哈希表中。 注意：布隆过滤器如果说某个元素不存在时，该元素一定不存在，如果该元素存在时，该元素可能存在，因为有些哈希函数存在一定的误判。
4.2.5 布隆过滤器删除
布隆过滤器不能直接支持删除工作，因为在删除一个元素时，可能会影响其他元素。 一种支持删除的方法：将布隆过滤器中的每个比特位扩展成一个小的计数器，插入元素时给 k 个计数器加一，删除元素时，给 k 个计数器减一，通过多占用几倍存储空间的代价来增加删除操作。 缺陷：无法确认元素是否真正在布隆过滤器中；存在计数回绕。
4.2.6 布隆过滤器优点
- 增加和查询元素的时间复杂度为 O(K)，与数据量大小无关
- 哈希函数相互之间没有关系，方便硬件并行运算
- 不需要存储元素本身，在某些对保密要求比较严格的场合有很大优势
- 在能够承受一定的误判时，比其他数据结构有很大的空间优势
- 数据量很大时，可以表示全集
- 使用同一组散列函数的布隆过滤器可以进行交、并、差运算
4.2.7 布隆过滤器缺陷
- 有误判率，即存在假阳性 (False Position)
- 不能获取元素本身
- 一般情况下不能从布隆过滤器中删除元素
- 如果采用计数方式删除，可能会存在计数回绕问题
