C++ 搜索二叉树
一、理解二叉搜索树
1.1 二叉搜索树的概念
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值；
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值；
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树；
- 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义。
1.2 核心特性
1.2.1 多元化的结构：灵活的数据结构
BST 支持动态数据集合的高效操作，适合频繁插入、删除和查找的场景。
1.2.2 天然的搜索优势：擅长搜索的数据结构
利用二叉树的分支特性，BST 在平均情况下能实现 O(logN) 的搜索效率。
二、二叉搜索树性能分析
2.1 时间复杂度分析
- 最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其高度为：logN；
- 最差情况下，二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其高度为：N；
注意：时间复杂度指的是最差情况下，所以时间复杂度为 O(N)。
最差情况如图：
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，因此后面会介绍二叉搜索树的变形——平衡二叉搜索树 AVL 树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。
2.2 二分查找的局限性
另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
- 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
- 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。
如右图所示：数据越有序，插入结果越坏——高度高、递归深、效率低。 如左图所示：插入越无序的数据，左右会平衡一点，结果反而越好。
三、实现二叉搜索树的定义
3.1 命名规范
二叉搜索树常简写为 BST，提高代码可读性。二叉搜索树也叫搜索二叉树。
3.2 定义节点
template<class K> struct BSTreeNode {
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key) :_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) { }
};
3.3 实践：完整的类定义
提供插入、查找、删除等基本操作的接口设计如下：
四、二叉搜索树的插入操作详解
4.1 插入算法流程
从根节点开始，根据键值大小选择左子树或右子树，直到找到空位置插入新节点。
插入分成以下三种情况：
- 树为空，则直接新增结点，赋值给 root 指针。
- 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大就往右走，插入值比当前结点小就往左走，找到空位置，插入新结点。
- 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点（要注意保持逻辑一致性）。
提示：我们就以下面这张图为搜索二叉树来进行实践。
4.2 代码实践
4.2.1 代码演示
我们定义这样一个数组：int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
代码如下（不允许相等的值输入）：
//不允许相等的值插入
template<class K> class BSTree {
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
bool Insert(const K& key) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else {
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key) {
parent->_right = cur;
} else {
parent->_left = cur;
}
return true;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
4.2.2 测试用例设计
我们在 Test.cpp 文件里面包一下头文件，给一个数组，再定义出一棵树，因为数组也是支持范围 for 的，这里我们用范围 for 把数据插入进去。
4.2.3 C++ 递归的麻烦之处
C++ 递归很麻烦，这里要传根，但是根是私有的。调的是不需要传根的，再去调用这个子函数，把根传过去，这样外面就不需要传了，也不需要提供 get root，不过 get root 调用的时候也方便。
4.3 InOrder：中序遍历验证
利用 BST 的中序遍历必然有序的特性验证插入正确性。
思考：这里为什么要使用中序遍历验证呢？
中序遍历的好处：中序遍历：最简单的递归中序遍历有序，并且数据都在，并且能够很好地验证功能。验证搜索二叉树只需判断中序遍历是否为递增即可。
4.4 运行演示
成功插入进去了，并且因为是中序遍历，结果是有序的。
五、查找操作实现
5.1 查找算法
利用 BST 的排序特性，通过比较键值快速定位目标节点。
- 从根开始比较，查找 x，x 比根的值大则往右边走查找，x 比根值小则往左边走查找。
- 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不支持插入相等的值，找到 x 即可返回。
- 如果支持插入相等的值，意味着有多个 x 存在，一般要求查找中序的第一个 x。
5.2 代码实践
查找的代码也可以递归写，也可以不用。
5.3 测试用例设计
我们就查找一下 1 这个数据。
5.4 运行
六、删除操作深度解析
6.1 删除前的定位：要先查找一下
首先需要找到待删除节点及其父节点。
6.1.1 查找元素存在分四种情况
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回 false。
如果查找元素存在则分以下四种情况需要分别处理一下（假设要删除的结点为 N）：
- 要删除结点 N 左右孩子均为空。
- 要删除的结点 N 左孩子位空，右孩子结点不为空。
- 要删除的结点 N 右孩子位空，左孩子结点不为空。
- 要删除的结点 N 左右孩子结点均不为空。
6.1.2 对应以上四种情况的解决方案
- 把 N 结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除 N 结点（情况 1 可以当成 2 或者 3 进行处理，效果是一样的）。
- 把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的右孩子，直接删除 N 结点。
- 把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的左孩子，直接删除 N 结点。
- 无法直接删除 N 结点，因为 N 的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找 N 左子树的值最大结点 R（最右结点）或者 N 右子树的值最小结点 R（最左结点）替代 N，因为这两个结点中任意一个，放到 N 的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代 N 的意思就是 N 和 R 的两个结点的值交换，转而变成删除 R 结点，R 结点符合情况 2 或情况 3，可以直接删除。
6.2 示例分析
接下来我们通过具体例子来看看各种删除情况。
6.3 实践：代码实现
6.3.1 节点定位：查找要删除的节点
实现高效的节点查找逻辑。
6.3.2 左子树为空的情况
6.3.3 右子树为空的情况
6.3.4 左右子树都存在的情况
6.3.5 完整的 Erase 实现
// 搜索二叉树这个部分，删除是很麻烦的，先找到再删除，找到不难，但是删除很难
// 面试如果考，一定不会考插入、查找，肯定会考删除
bool Erase(const K& key) {
Node* parent = nullptr; // 记录当前节点的父节点
Node* cur = _root; // 从根节点开始搜索
// 1、查找要删除的节点
while (cur) {
if (cur->_key < key) // 目标 key 比当前节点大，向右子树搜索
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key) // 目标 key 比当前节点小，向左子树搜索
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else // 找到要删除的节点 cur——要干掉的节点
{
// 情况 1：要删除的节点左子树为空（只有右子树或没有子树）
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
// 父亲节点的左指向我的右
if (cur == _root) // 如果要删除的是根节点，（改变根节点）让孩子自己变成根
{
_root = cur->_right; // 上面是左为空，所以让父亲指向我的右，让右孩子成为新的根
}
else
{
// 判断 cur 是父节点的左孩子还是右孩子
if (cur == parent->_left) // 父亲节点的左指向我的右，父节点的左指针指向 cur 的右孩子
{
parent->_left = cur->_right;
}
else // 父亲节点的右指向我的左
{
parent->_right = cur->_right; // 父节点的右指针指向 cur 的右孩子
}
}
delete cur; // 删除 cur，释放节点内存
return true;
}
(cur->_right == )
{
(cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
{
(cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
cur;
;
}
{
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
(replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
(replaceParent->_left == replace)
{
replaceParent->_left = replace->_right;
}
{
replaceParent->_right = replace->_right;
}
replace;
;
}
}
}
;
}
6.4 测试用例设计
这里是删 8 是会出问题的！我们要改一改。
6.4.1 替代节点的父节点就是当前节点：replace 的 parent 就是 cur
6.4.2 需要判断一下：连接判断逻辑
改变根节点，让这个孩子自己变成根。
6.5 访问 for 重新删
需要全部再删一次，重复删不会报错。
6.6 运行
运行一下。
七、二叉搜索树的完整代码示例与实践演示
SearchBinaryTree.h
//不好听
//struct SearchBinaryTree
//struct SBTreeNode
namespace key {
template<class K> struct BSTreeNode {
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key) :_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) { }
};
//不允许相等的值插入
template<class K> class BSTree {
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
bool Insert(const K& key) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key) {
parent->_right = cur;
}
else {
parent->_left = cur;
}
;
}
{
Node* cur = _root;
(cur) {
(cur->_key < key) {
cur = cur->_right;
}
(cur->_key > key) {
cur = cur->_left;
}
{
;
}
}
;
}
{
Node* parent = ;
Node* cur = _root;
(cur) {
(cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
(cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
{
(cur->_left == )
{
(cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
{
(cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_right;
}
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
cur;
;
}
(cur->_right == )
{
(cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
{
(cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
cur;
;
}
{
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
(replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
(replaceParent->_left == replace)
{
replaceParent->_left = replace->_right;
}
{
replaceParent->_right = replace->_right;
}
replace;
;
}
}
}
;
}
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
:
_InOrder(Node* root) {
(root == ) ;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ;
_InOrder(root->_right);
}
:
Node* _root = ;
};
}
key_value {
< , > {
BSTreeNode<K, V>* _left;
BSTreeNode<K, V>* _right;
K _key;
V _value;
( K& key, V& value) :_left(), _right(), _key(key), _value(value) { }
};
< , > {
BSTreeNode<K, V> Node;
:
{
(_root == ) {
_root = (key, val);
;
}
Node* parent = ;
Node* cur = _root;
(cur) {
(cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
(cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
{
;
}
}
cur = (key, val);
(parent->_key < key) {
parent->_right = cur;
}
{
parent->_left = cur;
}
;
}
{
Node* cur = _root;
(cur) {
(cur->_key < key) {
cur = cur->_right;
}
(cur->_key > key) {
cur = cur->_left;
}
{
cur;
}
}
;
}
{
Node* parent = ;
Node* cur = _root;
(cur) {
(cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
(cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
{
(cur->_left == ) {
(cur == _root) {
_root = cur->_right;
}
{
(cur == parent->_left) {
parent->_left = cur->_right;
}
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
cur;
;
}
(cur->_right == ) {
(cur == _root) {
_root = cur->_left;
}
{
(cur == parent->_left) {
parent->_left = cur->_left;
}
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
cur;
;
}
{
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
(replace->_left) {
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
(replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right;
replaceParent->_right = replace->_right;
replace;
;
}
}
}
;
}
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
:
_InOrder(Node* root) {
(root == ) ;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
:
Node* _root = ;
};
}
Test.cpp
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"SearchBinaryTree.h"
int main() {
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 }; // 给一个数组
BSTree<int> t; // 定义一棵树
for (auto e : a) // 数组也支持访问 for
{
t.Insert(e); // 把数据插入进去
}
t.InOrder(); // C++ 递归很麻烦，这里要传根，但是根是私有的
// 打印结果：1 3 4 6 7 8 10 13 14（成功，并且是有序的——中序遍历）
// 这样基本上说明插入是没问题的
t.Find(1);
t.InOrder();
t.Erase(3); // 没啥问题
t.Erase(8);
t.InOrder();
t.Erase(1); // 没啥问题
t.InOrder();
t.Erase(10); // 左为空
t.InOrder();
for (auto e : a) // 需要全部再删一次，重复删不会报错
{
t.Insert(e);
}
return ;
}
运行演示
八、二叉搜索树 Key 和 Key / Value 使用场景
只有 Key 作为关键码，结构中只需要存储 Key 即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 Key 在不在。Key 的搜索场景实现的二叉搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改 Key 破坏搜索树结构了。
场景 1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景 2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
8.2 Key / Value 使用场景
每一个关键码 Key，都有与之对应的值 Value，Value 可以任意类型对象。树的结构中（结点）除了需要存储 Key 还要存储对应的 Value，增/删/查还是以 Key 为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到 Key 对应的 Value。Key/Value 的搜索场景实现的二叉搜索树支持修改，但是不支持修改 Key，修改 Key 破坏搜索树性质了，可以修改 Value。
场景 1：简单中英互译字典，树的结构中（结点）存储 Key(英文）和 Value（中文），搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景 2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景 3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，( 单词 , 1），单词存在，则++单词对应的次数。
8.3 实践：Key / Value 代码实现
Key / Value 场景下的代码实现如下所示（见上文 namespace key_value 部分）。
8.4 设计测试用例
8.4.1 测试用例
8.4.2 测试用例二
8.5 运行演示
8.5.1 测试用例一运行演示
运行一下。
8.5.2 取消运行
^Z：Ctrl + Z + Enter（回车），就能取消运行。
结尾
结语：搜索二叉树（BST）的价值，恰在于它用'左小右大'的简单规则，搭建起了'高效查找'与'有序数据'之间的桥梁 —— 从图解中清晰可见的层级结构，到代码里递归实现的插入、删除逻辑，每一处设计都围绕着'平衡效率与规则'的核心目标。它既是二叉树特性的具象化应用，也是理解复杂平衡树（如 AVL、红黑树）的'入门钥匙'，那些看似抽象的'中序遍历有序性''节点删除场景分类'，通过图解的可视化呈现，都能转化为可感知、可验证的逻辑。
