2025 年 12 月 GESP 二级 C++ T2 黄金格
题目描述
小杨在探险时发现了一张神奇的矩形地图，地图有 $H$ 行和 $W$ 列。每个格子的坐标是 $(r, c)$，其中 $r$ 表示行号从 1 到 $H$，$c$ 表示列号从 1 到 $W$。
小杨听说地图中隐藏着一些'黄金格'，这些格子满足一个神秘的数学挑战：当格子坐标 $(r, c)$ 代入特定的不等式关系成立时，该格子就是黄金格。具体来说，黄金格的条件是：$ \sqrt{r^2 + c^2} \leq x + r - c$。
例如，如果参数 $x=5$，那么格子 $(4, 3)$ 就是黄金格。因为左边坐标平方和的平方根 $ \sqrt{4^2 + 3^2}$ 算出来是 5，而右边 $5 + 4 - 3$ 算出来是 6，5 小于等于 6，符合条件。
输入格式
三行，每行一个正整数，分别表示 $H, W, x$。含义如题面所示。
输出格式
一行一个整数，代表黄金格数量。
输入输出样例 #1
输入 #1
4 4 2
输出 #1
4
说明/提示
样例解释
图中标注为黄色的四个格子是黄金格，坐标分别为 $(1, 1)$，$(2, 1)$，$(3, 1)$，$(4, 1)$。
数据范围
对于所有测试点，保证给出的正整数不超过 1000。
题解
一、题目分析
1. 核心需求
给定一个 $H$ 行 $W$ 列的矩形地图，每个格子坐标为 $(r, c)$（$1 \leq r \leq H$，$1 \leq c \leq W$），统计满足黄金格条件的格子数量。黄金格的原始条件为：
$
\sqrt{r^2 + c^2} \leq x + r - c$
2. 关键优化：避免浮点数精度误差
原始条件包含平方根运算，若直接使用 sqrt 函数计算，会引入浮点数存储和计算的精度误差（例如，某些本应成立的条件可能因精度丢失被判为不成立，反之亦然）。
由于不等式两边均为非负数（左边 $
\sqrt{r^2 + c^2}$ 必然非负；若右边 $x + r - c < 0$，则不等式一定不成立，无需判断），因此可对两边同时平方，转化为等价的整数运算不等式，完全规避精度问题：
$r^2 + c^2 \leq (x + r - c)^2$
二、解题思路
- 输入读取：读取三个正整数 $H$（行数）、$W$（列数）、$x$（题目参数）。
- 计数器初始化：定义计数器
cnt并初始化为 0，用于统计黄金格数量。 - 遍历所有格子：使用双重循环遍历所有格子坐标 $(r, c)$（外层循环遍历行 $r$，内层循环遍历列 $c$）。
- 条件判断：对每个格子，验证转化后的整数不等式是否成立，若成立则计数器
cnt加 1。 - 输出结果：循环结束后，输出计数器
cnt的值，即黄金格总数。
三、代码解析
std;
{
h, w, x;
cnt = ;
cin >> h >> w >> x;
( r = ; r <= h; r++) {
( c = ; c <= w; c++) {
(r * r + c * c <= (x + r - c) * (x + r - c)) {
cnt++;
}
}
}
cout << cnt;
;
}
