算法实战：课程表环检测与 Trie 前缀树实现

在算法题库的中高频题目中，图论中的环检测和树形结构的设计是两个绕不开的坎。

本文通过两道经典题目——207. 课程表 和 208. 实现 Trie (前缀树)，来深入理解 DFS（深度优先搜索）在不同场景下的妙用，以及如何亲手设计一个高效的数据结构。

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一、课程表 (Course Schedule)

1. 题目核心：图的有向环检测

题目给定了一组课程的依赖关系（比如想学 A 必须先学 B），问我们能不能修完所有课。这本质上是在问：这个有向图中是否存在环？ 如果存在环（例如 A->B->C->A），就会形成'死锁'，导致无法完成。

2. 解题法宝：三色标记法 (DFS)

为了防止 DFS 陷入死循环，并准确判断'当前路径'是否有环，我们需要三个状态，而不仅仅是访问过/没访问过。

• 0 (白色/White)：未访问。完全没探索过的未知区域。
• 1 (灰色/Gray)：正在访问中。当前侦探正在走这条路，还没走到底。如果 DFS 过程中撞见了 1，说明咬到了自己的尾巴，发现环！
• 2 (黑色/Black)：已完成。这条路已经走到底并退出来了，确认是安全的（无环）。

3. 代码实现 (C++)

在使用 DFS 遍历邻接表时，最容易犯的错误就是混淆循环下标和邻居节点的值，代码中已重点标注。

class Solution {
    vector<vector<int>> g; // 邻接表：存图
    vector<int> sign;      // 三色标记数组

    // 思路：基于三色标记法的 DFS 思路
    bool dfs(int i) {
        sign[i] = 1; // 标记为 1 (灰色/正在访问)，表示'正在这条路上'
        
        // 遍历当前节点 i 的所有邻居
        for (int j = 0; j < g[i].size(); ++j) {
            int neighbor = g[i][j]; // 【关键】取出真正的邻居节点，千万别用成 j
            
            // 情况一：撞到了'正在访问'的节点 (sign=1)
            // 说明我们绕了一圈又回到了当前路径上的某个点！这就是环！
            if (sign[neighbor] == 1) {
                 ;
            }
            
            
             (sign[neighbor] == ) {
                 ((neighbor)) {
                     ; 
                }
            }
            
            
        }
        
        
        sign[i] = ;
         ;
    }

:
    {
        
        g.(numCourses, <>());
        sign.(numCourses, ); 
        
        
        
         ( i = ; i < prerequisites.(); ++i) {
             prev = prerequisites[i][];
             curr = prerequisites[i][];
            g[curr].(prev);
        }
        
        
        
         ( i = ; i < numCourses; ++i) {
            
             (sign[i] == ) {
                 flag = (i);
                 (flag == ) { 
                     ;   
                }
            }
        }
         ;
    }
};