【高阶数据结构】第二弹---图的深度解析：从基本概念到邻接矩阵的存储与操作
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1、图的基本概念
图(Graph)是由顶点集合(V)及顶点间的边的集合(E)组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：
- G表示图
- 顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；
- 顶点之间的边集合E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。
(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。
顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。
有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。
完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在有n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。
邻接顶点：在无向图G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。
顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。
路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。
简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。
子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。
连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。
生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。
2、图的存储结构
因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？
2.1、邻接矩阵
因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。
注意：
- 1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
- 2. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替。
- 3. 用邻接矩阵存储图的优点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求。
2.1.1、基本结构
1、为了图的灵活性，此处使用模板来描述图，使用类型模板参数描述顶点和边的类型，使用非类型模板参数描述无穷大和图的方向。
2、使用vector存储顶点集合，map存储顶点与下标的映射关系，二维vector存储边集合的矩阵。
// vertex: 顶点 edge: 边 weight: 权值 template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false> class Graph { typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self; public: // ... private: vector<V> _vertexs; // 顶点集合 map<V, size_t> _vIndexMap; // 顶点映射下标 vector<vector<W>> _matrix; // 存储边集合的矩阵 };2.1.2、图的创建
图有三种常见的创建方式，如下：
1、IO输入 -- 不方便测试，OJ中更适合
2、图结构关系写到文件，读取文件
3、手动添加边(此处使用手动添加边)
构造函数传入顶点集合以及顶点个数，为了能够生成默认构造函数，此处需要使用default关键字。
// 生成默认构造 Graph() = default; Graph(const V* vertexs, size_t n) { _vertexs.reserve(n); for (size_t i = 0; i < n; i++) { _vertexs.push_back(vertexs[i]); _vIndexMap[vertexs[i]] = i; } // MAX_W 作为不存在边的标识值 _matrix.resize(n); for (auto& e : _matrix) { e.resize(n, MAX_W); } }2.1.3、获取顶点下标
顶点与下标的映射存储在map中，获取顶点对应的下标只需要在map中进行查找即可，找到则返回下标，没找到则抛异常(为了编译通过，返回-1)。
size_t GetVertexIndex(const V& v) { auto ret = _vIndexMap.find(v); if (ret != _vIndexMap.end()) { return ret->second; } else { //assert(false); throw invalid_argument("顶点不存在"); return -1; // 编译通过 } }2.1.4、添加边
1、此处使用的是手动添加边的方式创建图，因此添加边的函数是必不可少的。参数为起始顶点，结束顶点和权值，还需注意有向与无向图。
2、添加边的思想，先获取顶点对应的下标，然后将权值存进矩阵中，如果是无向图则需双向存储。
参数为顶点值
// 添加边(直接实现) void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w) { // 查找边的下标 size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t dsti = GetVertexIndex(dst); _matrix[srci][dsti] = w; // 无向图 if (Direction == false) { _matrix[dsti][srci] = w; } }参数为顶点下标
void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w) { _matrix[srci][dsti] = w; // 无向图 if (Direction == false) { _matrix[dsti][srci] = w; } }复用子函数方式
// 添加边(调用子函数) void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w) { // 查找边的下标 size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t dsti = GetVertexIndex(dst); _AddEdge(srci, dsti, w); }2.1.5、打印
打印的方式可以根据自己需求打印，此处打印下标与顶点的映射关系和矩阵，为了让打印更美观，将矩阵的对角线打印成0，无穷大值打印成*，并打印矩阵的行列。
void Print() { // 打印下标和顶点映射关系 for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++) { cout << "[" << i << "]->" << _vertexs[i] << endl; } cout << endl; // 横下标 cout << " "; for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++) { //cout << i << " "; printf("%4d", i); } cout << endl; // 打印矩阵 for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++) { // 竖下标 cout << i << " "; for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++) { if (i == j) { printf("%4d", 0); } else if (_matrix[i][j] != MAX_W) { //cout << _matrix[i][j] << " "; printf("%4d", _matrix[i][j]); } else { //cout << "* "; printf("%4c", '*'); } } cout << endl; } cout << endl; }2.1.6、测试
void TestGraph1() { Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4); g.AddEdge('0', '1', 1); g.AddEdge('0', '3', 4); g.AddEdge('1', '3', 2); g.AddEdge('1', '2', 9); g.AddEdge('2', '3', 8); g.AddEdge('2', '1', 5); g.AddEdge('2', '0', 3); g.AddEdge('3', '2', 6); g.Print(); }构造函数
添加边
打印结果
