一、问题提出
1.1 位姿的表述
所谓的机器人，可以理解为一堆连杆，或者叫一堆刚体（柔性机械臂一般简化为连续的欠驱动的多刚体机械臂）。机器人技术，便是对刚体的研究技术，这些技术都是成熟的。对于刚体间的关系，其普遍描述于欧氏空间中。欧氏空间，或者叫平直空间，全称是欧几里德空间（Euclidean Space），顾名思义就是欧几里得建立的以角和空间线的关系为法则的空间。其对于空间内固定的点集主要表现出两个特性：其一是平移特性，所有点向相同方向移动相同的距离；其二是旋转特性，所有点关于同一个旋转轴旋转相同角度。
在大量的文献资料上，不难发现机器人等效为一系列关联的坐标系。由于其描述在欧氏空间，坐标系采用的是笛卡尔坐标系，坐标系之间的关系分为旋转和平移两种，如图 1 所示。工程上一般将机器人描述的欧氏空间定义为 x-y-z 的 3 维欧氏空间，空间内的点表示为 3×1 的列向量，每一行分别对应 x、y、z 轴上的值。平移和旋转运算在矩阵乘法中为左乘运算。在运算上，空间内的平移可以用一个 3×1 的平移矢量表示，其平移运算后空间点仍旧还是空间点；空间内的旋转可以用 1 个 9×9 的旋转矩阵表示，其旋转运算后仍旧还是空间点。
图 1. 欧氏空间中描述位姿的两种变换
从数学公式上看：
1）平移变化可以表示为
，
，
2）旋转变化可以表示为
，
，
其中，平移变化可以用 3 个参数表示，而旋转参数需要用 9 个参数表示。显然，对于 3 维度的空间描述过于冗余了。
因此，根据旋转矩阵的 9 个参数，其中大部分耦合。为了简化旋转模型，减少未知变量，产生了欧拉角描述法、旋量描述法、四元数描述法等描述法。
这样，刚体间的位姿关系就可以用平移变化和旋转变化共同表示。
在欧氏空间中，针对一个 3D 点的变换，这二者不好合并。一个表达形式是矩阵加法，一个表达形式是矩阵乘法，其按照 3D 形式表达为：
