【数据结构】八大排序之归并排序：分治思想的完美演绎

归并排序：分治思想的完美演绎

基本思想

归并排序（Merge Sort）是**分治法（Divide and Conquer）**的经典应用，由计算机科学先驱约翰·冯·诺依曼于1945年提出。其核心思想是：将大问题分解为小问题，解决小问题后合并结果。

算法流程分为两个核心阶段：

1. 分（Divide）：递归地将当前数组分割成两个子数组，直到每个子数组只包含一个元素（天然有序）
2. 治（Conquer）：将两个有序子数组合并成一个新的有序数组

归并排序的核心操作是合并两个有序数组：每次比较两个数组的首元素，将较小者放入新数组，直到所有元素合并完成。

#include<string.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>void_MergeSort(int* a,int* tmp,int begin,int end){// 递归终止条件：当子数组只有一个元素时if(begin == end){return;}// 计算中间点int mid =(begin+end)/2;//如果[begin,mid]和[mid+1,end]有序就可以进行归并了 这里区间不能分为[begin,mid-1][mid,end] 这是个坑 比如2 3 6 7_MergeSort(a,tmp, begin,mid);//把一组分成左右两个区间_MergeSort(a, tmp, mid+1, end);//归并int begin1 = begin, end1 = mid ;int begin2 = mid+1, end2 = end;int i = begin;while(begin1 <= end1 && begin2 <= end2)//有一个结束了就把没结束的那个全部尾插到后边{if(a[begin1]< a[begin2]){ tmp[i++]= a[begin1++];//让小的那个++}else{ tmp[i++]= a[begin2++];}}//有一个结束了，就把另一个依次插入//两个循环只会进一个while(begin1 <= end1){ tmp[i++]= a[begin1++];}while(begin2 <= end2){ tmp[i++]= a[begin2++];}// 将合并结果复制回原数组memcpy(a + begin, tmp + begin,(end - begin +1)*sizeof(int));//begin和end在变化不是一直从0开始 看动图}// 归并排序入口函数voidMergeSort(int* a,int n){// 分配临时数组空间int* tmp =(int*)malloc(sizeof(int)* n);if(tmp ==NULL){perror("malloc fail");return;}// 调用递归函数_MergeSort(a, tmp,0, n -1);// 释放临时数组free(tmp); tmp =NULL;}//测试案例intmain(){int a[]={2,3,5,4,7,1};MergeSort(a,6);for(int i =0; i <sizeof(a)/sizeof(a[0]); i++){printf("%d", a[i]);}return0;}

解释一下为什么区间不能用[end.mid-1]和[mid,end]

假设10个数据 下标从0到9 如果是[begin,mid-1] 和[mid,end]

此时mid-1=3

所以就分成[0,3]和[4,9]两个区间

在[0,3]这个区间里 mid-1=0

所以分成[0,0]和[1,3]

[0,0]此时就跳出循环

[1,3]的mid-1=1

所以分成[1,1]和[2,3]

此时[2,3]的mid-1=1

分成[2,1]和[1,3] 这显然是不对的

空间复杂度

归并排序需要 O(n) 的额外空间：

• 用于存储合并过程中的临时数组
• 递归调用栈空间 O(log n)，但通常临时数组占主导

非递归归并

11归并可以理解为两组数据中的个数分别为1

11归并完进行22归并 以此类推

voidMergeSortNonR(int* a,int n){int* tmp =(int*)malloc(sizeof(int)* n);if(tmp ==NULL){perror("malloc fail");return;}//gap是魅族归并数据的数据个数int gap =1;for(int i =0; i < n; i+=2*gap)//一整组归并是gap+gap个 i代表每组归并的起始位置{int begin1 = i, end1 = i+gap-1;int begin2 = gap +1, end2 = i+2*gap-1;//begin2是begin1跳过一组数据，也就是跳过gap个 所以是gap+i;end2要跳过两组.//第二组越界不存在.这一组就不需要归并了if(begin2 >= n){break;}//第二组的begin2没越界,end2越界了，需要修正一下，继续 归并if(end2 >= n){ end2 = n -1;}int j=i;while(begin1 <= end1 && begin2 <= end2)//有一个结束了就把没结束的那个全部尾插到后边{if(a[begin1]< a[begin2]){ tmp[j++]= a[begin1++];//让小的那个++}else{ tmp[j++]= a[begin2++];}}//两个循环只会进一个while(begin1 <= end1){ tmp[j++]= a[begin1++];}while(begin2 <= end2){ tmp[j++]= a[begin2++];}memcpy(a + i, tmp + i,(end2 - i +1)*sizeof(int));//要归并一下拷贝一下，不然会拷贝到越界的}free(tmp); tmp =NULL;}

如果10个数就会出现溢出

把归并区间打印出来分析一下 就上图者三种情况

但也可以分为两种 第一种是begin2溢出 第二种是begin2不溢出,end2溢出

时间复杂度

不能看循环层数

每一层都是n 一共logn层

所以时间复杂度是nlongn

空间复杂度是O(n) 因为要再开一块空间

非递归实现要点

1. gap参数：控制当前归并的子数组大小，从1开始，每次迭代翻倍
2. 边界处理：关键步骤，处理数组大小不是2的幂的情况：
   • 当第二个子数组完全越界（begin2 ≥ n），跳过本次合并
   • 当第二个子数组部分越界（end2 ≥ n），修正其边界为n-1
3. 迭代过程：
   • 第1轮：11归并 → 每个子数组大小为1
   • 第2轮：22归并 → 子数组大小为2
   • 第k轮：2ᵏ归并 → 子数组大小为2ᵏ

归并排序特性总结

1. 稳定排序：
   • 当两个元素相等时，归并排序优先选择左子数组的元素
   • 保持相等元素的原始相对位置不变
   • 适用于需要稳定性的场景（如多关键字排序）
2. 时间复杂度：
   • 最优：O(n log n)
   • 平均：O(n log n)
   • 最差：O(n log n)
   • 不受输入数据影响，性能稳定
3. 空间复杂度：
   • O(n) 额外空间
   • 递归实现还有 O(log n) 的栈空间
4. 外排序优势：
   • 归并排序是少数能高效处理外部存储（如硬盘）数据的排序算法
   • 特别适合处理超过内存容量的海量数据
   • 工作流程：
     1. 将大文件分割为能放入内存的小块
     2. 在内存中排序每个小块
     3. 合并已排序的小块

结语

归并排序是分治思想的完美体现，通过"分而治之"的策略达到O(n log n)的高效排序。其核心优势在于：

1. 稳定可靠：不受输入数据影响，始终保证O(n log n)性能
2. 外排序能力：唯一能高效处理海量磁盘数据的通用排序算法
3. 稳定排序：保持相等元素的原始顺序
4. 并行潜力：天然适合并行化实现

尽管需要O(n)额外空间，但在现代计算机系统中，空间换时间的策略往往是值得的。归并排序在数据库系统、大数据处理、外部排序等场景中发挥着不可替代的作用，是每个程序员必须掌握的经典算法之一。