数据结构——图(遍历,最小生成树,最短路径)
目录
一.图的基本概念
图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：
顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；
E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合
(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的
顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>
有向图和无向图：在有向图中，顶点对是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，和是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y) 是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x) 是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边和
完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边， 则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4
邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶 点u，并称边与顶点u和顶点v相关联
顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注 意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)
路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径
路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一 条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和
简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路 径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环
子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图
连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一 对顶点都是连通的，则称此图为连通图
强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图
生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n1条边
二.图的存储结构
1.邻接矩阵
因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一 个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系
注意:
- 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一 定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i的出(入)度
- 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个 顶点不通，则使用无穷大代替
- 用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比 较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路 径不是很好求
namespace matrix { template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false> class Graph { typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self; public: //图的创建 //1.IO输入->不方便测试,oj中更适合 //2.图结构关系写到文件,读取文件 //3.手动添加边 Graph() = default; Graph(const V* a, size_t n) { _vertexs.reserve(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { _vertexs.push_back(a[i]); _indexMap[a[i]] = i; } _matrix.resize(n); for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i) { _matrix[i].resize(n, MAX_W); } } size_t GetVertexIndex(const V& v) { auto it = _indexMap.find(v); if (it != _indexMap.end()) { return it->second; } else { //assert(false); throw invalid_argument("顶点不存在"); return -1; } } void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w) { _matrix[srci][dsti] = w; //无向图 if (Direction == false) { _matrix[dsti][srci] = w; } } void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t dsti = GetVertexIndex(dst); _AddEdge(srci, dsti, w); } void Print() { //顶点 for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i) { cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl; } cout << endl; //矩阵 //横下标 cout << " "; for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i) { //cout << i << " "; printf("%4d", i); } cout << endl; for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i) { cout << i << " ";//竖下标 for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j) { //cout << _matrix[i][j] << " "; if (_matrix[i][j] == MAX_W) { //cout << "* "; printf("%4c", '*'); } else { //cout << _matrix[i][j] << " "; printf("%4d", _matrix[i][j]); } } cout << endl; } cout << endl; } private: vector<V> _vertexs; //顶点集合 map<V, int> _indexMap; //顶点映射下标 vector<vector<W>> _matrix; //邻接矩阵 }; }void TestGraph1() { Graph<char, int> g("0123", 4); //Graph<char, int, true> g("0123", 4); g.AddEdge('0', '1', 1); g.AddEdge('0', '3', 4); g.AddEdge('1', '3', 2); g.AddEdge('1', '2', 9); g.AddEdge('2', '3', 8); g.AddEdge('2', '1', 5); g.AddEdge('2', '0', 3); g.AddEdge('3', '2', 6); g.Print(); }
邻接矩阵总结:
- 邻接矩阵存储方式非常适合稠密图
- 邻接矩阵O(1)判断两个顶点的连接关系并取到权值
- 相对而言不适合查找一个顶点连接所有边----O(N)
2.邻接表
邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系
1.无向图邻接表存储
注意:无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可
2.有向图邻接表存储
注意:有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i
namespace link_table { template<class W> struct Edge { //int _srci; int _dsti; //目标点的下标 W _w; //权值 Edge<W>* _next; Edge(int dsti, const W& w) :_dsti(dsti), _w(w), _next(nullptr) { } }; template<class V, class W, bool Direction = false> class Graph { typedef Edge<W> Edge; public: Graph(const V* a, size_t n) { _vertexs.reserve(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { _vertexs.push_back(a[i]); _indexMap[a[i]] = i; } _tables.resize(n, nullptr); } size_t GetVertexIndex(const V& v) { auto it = _indexMap.find(v); if (it != _indexMap.end()) { return it->second; } else { //assert(false); throw invalid_argument("顶点不存在"); return -1; } } void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t dsti = GetVertexIndex(dst); Edge* eg = new Edge(dsti, w); eg->_next = _tables[srci]; _tables[srci] = eg; if (Direction == false) { Edge* eg = new Edge(srci, w); eg->_next = _tables[dsti]; _tables[dsti] = eg; } } void Print() { //顶点 for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i) { cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl; } cout << endl; for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i) { cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]->"; Edge* cur = _tables[i]; while (cur) { cout << "[" << _vertexs[cur->_dsti] << ":" << cur->_dsti << ":" << cur->_w << "]->"; cur = cur->_next; } cout << "nullptr" << endl; } } private: vector<V> _vertexs; //顶点集合 map<V, int> _indexMap; //顶点映射下标 vector<Edge*> _tables; //邻接表 }; }void TestGraph2() { string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" }; //Graph<string, int, true> g1(a, 4); Graph<string, int> g1(a, 4); g1.AddEdge("张三", "李四", 100); g1.AddEdge("张三", "王五", 200); g1.AddEdge("王五", "赵六", 30); g1.Print(); }
邻接表总结:
- 适合存储稀疏图
- 适合查找一个顶点连接出去的边
- 不适合确定两个顶点是否相连及权值
三.图的遍历
1.图的广度优先遍历
void BFS(const V& src) { size_t srci = GetVertexIndex(src); //队列和标记数组 queue<int> q; vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); q.push(srci); visited[srci] = true; int levelSize = 1; size_t n = _vertexs.size(); while (!q.empty()) { //一层一层出 for (int i = 0; i < levelSize; ++i) { int front = q.front(); q.pop(); cout << front << ":" << _vertexs[front] << " "; //把front顶点的邻接顶点入队列 for (size_t i = 0; i < n; ++i) { if (_matrix[front][i] != MAX_W) { if (visited[i] == false) { q.push(i); visited[i] = true; } } } } cout << endl; levelSize = q.size(); } cout << endl; }void TestBDFS() { string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" }; Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string)); g1.AddEdge("张三", "李四", 100); g1.AddEdge("张三", "王五", 200); g1.AddEdge("王五", "赵六", 30); g1.AddEdge("王五", "周七", 30); g1.Print(); g1.BFS("张三"); }
2.图的深度优先遍历
void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited) { cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << endl; visited[srci] = true; //找一个和srci相邻的没有访问过的点,去深度遍历 for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i) { if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false) { _DFS(i, visited); } } } void DFS(const V& src) { size_t srci = GetVertexIndex(src); vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); _DFS(srci, visited); }void TestBDFS() { string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" }; Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string)); g1.AddEdge("张三", "李四", 100); g1.AddEdge("张三", "王五", 200); g1.AddEdge("王五", "赵六", 30); g1.AddEdge("王五", "周七", 30); g1.Print(); g1.DFS("张三"); }
四.最小生成树
连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路
若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条:
- 只能使用图中的边来构造最小生成树
- 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
- 选用的n-1条边不能构成回路
1.Kruskal算法
Kruskal算法(克鲁斯卡尔算法)任给一个有n个顶点的连通网络N={V,E}， 首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分量， 其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一)，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到G中。如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止
核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树
struct Edge { size_t _srci; size_t _dsti; W _w; Edge(size_t srci, size_t dsti, const W& w) :_srci(srci), _dsti(dsti), _w(w) { } bool operator>(const Edge& e) const { return _w > e._w; } }; W Kruskal(Self& minTree) { size_t n = _vertexs.size(); minTree._vertexs = _vertexs; minTree._indexMap = _indexMap; minTree._matrix.resize(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W); } priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minque; for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W) { minque.push(Edge(i, j, _matrix[i][j])); } } } cout << "Kruskal开始选边:" << endl; //选出n-1条边 int size = 0; W totalW = W(); UnionFindSet ufs(n); while (!minque.empty()) { Edge min = minque.top(); minque.pop(); if (!ufs.InSet(min._srci, min._dsti)) { cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl; minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w); ufs.Union(min._srci, min._dsti); ++size; totalW += min._w; } else { cout << "构成环"; cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl; } } cout << endl; if (size == n - 1) { return totalW; } else { return W(); } } void TestGraphMinTree() { const char str[] = "abcdefghi"; Graph<char, int> g(str, strlen(str)); g.AddEdge('a', 'b', 4); g.AddEdge('a', 'h', 8); g.AddEdge('a', 'h', 9); g.AddEdge('b', 'c', 8); g.AddEdge('b', 'h', 11); g.AddEdge('c', 'i', 2); g.AddEdge('c', 'f', 4); g.AddEdge('c', 'd', 7); g.AddEdge('d', 'f', 14); g.AddEdge('d', 'e', 9); g.AddEdge('e', 'f', 10); g.AddEdge('f', 'g', 2); g.AddEdge('g', 'h', 1); g.AddEdge('g', 'i', 6); g.AddEdge('h', 'i', 7); Graph<char, int> kminTree; cout << "Kruskal:" << g.Kruskal(kminTree) << endl; kminTree.Print(); cout << endl; }
2.Prim算法
Prim算法(普里姆算法)
W Prim(Self& minTree, const W& src) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t n = _vertexs.size(); minTree._vertexs = _vertexs; minTree._indexMap = _indexMap; minTree._matrix.resize(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W); } vector<bool> X(n, false); vector<bool> Y(n, true); X[srci] = true; Y[srci] = false; //从X到Y集合相连接的边中选出值最小的边 priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minq; //将srci连接的边添加到队列中 for (size_t i = 0; i < n; ++i) { if (_matrix[srci][i] != MAX_W) { minq.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i])); } } cout << "Prim开始选边:" << endl; int size = 0; W totalW = W(); while (!minq.empty()) { Edge min = minq.top(); minq.pop(); if (X[min._dsti]) { cout << "构成环"; cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl; } else { minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w); cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl; X[min._dsti] = true; Y[min._dsti] = false; ++size; totalW += min._w; if (size == n - 1) break; for (size_t i = 0; i < n; ++i) { if (_matrix[min._dsti][i] != MAX_W && Y[i]) { minq.push(Edge(min._dsti, i, _matrix[min._dsti][i])); } } } } cout << endl; if (size == n - 1) { return totalW; } else { return W(); } }void TestGraphMinTree() { const char str[] = "abcdefghi"; Graph<char, int> g(str, strlen(str)); g.AddEdge('a', 'b', 4); g.AddEdge('a', 'h', 8); g.AddEdge('a', 'h', 9); g.AddEdge('b', 'c', 8); g.AddEdge('b', 'h', 11); g.AddEdge('c', 'i', 2); g.AddEdge('c', 'f', 4); g.AddEdge('c', 'd', 7); g.AddEdge('d', 'f', 14); g.AddEdge('d', 'e', 9); g.AddEdge('e', 'f', 10); g.AddEdge('f', 'g', 2); g.AddEdge('g', 'h', 1); g.AddEdge('g', 'i', 6); g.AddEdge('h', 'i', 7); Graph<char, int> pminTree; cout << "Prim:" << g.Prim(pminTree, 'a') << endl; pminTree.Print(); } 
五.最短路径
最短路径问题：从在带权有向图G中的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总和达到最小
1.单源最短路径--Dijkstra算法
单源最短路径问题：给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V s∈Vs∈V到图中每个结点v ∈ V v∈Vv∈V的最短路径。Dijkstra算法就适用于解决带权重的有向图上的单源最短路径问题，同时算法要求图中所有边的权重非负。一般在求解最短路径的时候都是已知一个起点和一个终点，所以使用Dijkstra算法求解过后也就得到了所需起点到终点的最短路径
针对一个带权有向图G，将所有结点分为两组S和Q，S是已经确定最短路径的结点集合，在初始时为空（初始时就可以将源节点s放入，毕竟源节点到自己的代价是0），Q 为其余未确定最短路径 的结点集合，每次从Q 中找出一个起点到该结点代价最小的结点u ，将u 从Q 中移出，并放入S中，对u的每一个相邻结点v 进行松弛操作。松弛即对每一个相邻结点v ，判断源节点s到结点u 的代价与u 到v 的代价之和是否比原来s 到v 的代价更小，若代价比原来小则要将s 到v 的代价更新 为s 到u 与u 到v 的代价之和，否则维持原样。如此一直循环直至集合Q 为空，即所有节点都已经 查找过一遍并确定了最短路径，至于一些起点到达不了的结点在算法循环后其代价仍为初始设定 的值，不发生变化。Dijkstra算法每次都是选择V-S中最小的路径节点来进行更新，并加入S中，所 以该算法使用的是贪心策略
Dijkstra算法(迪杰斯特拉算法)存在的问题是不支持图中带负权路径，如果带有负权路径，则可能会找不到一些路径的最短路径
//时间复杂度:O(N^2),空间复杂度:O(N) void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t n = _vertexs.size(); dist.resize(n, MAX_W); pPath.resize(n, -1); dist[srci] = 0; pPath[srci] = srci; //已经确定最短路径的顶点集合 vector<bool> S(n, false); for (size_t j = 0; j < n; ++j) { //选出最短路径顶点且不在S更新其他路径 int u = 0; W min = MAX_W; for (size_t i = 0; i < n; ++i) { if (S[i] == false && dist[i] < min) { u = i; min = dist[i]; } } S[u] = true; //松弛更新 for (size_t v = 0; v < n; ++v) { if (S[v] == false && _matrix[u][v] != MAX_W && dist[u] + _matrix[u][v] < dist[v]) { dist[v] = dist[u] + _matrix[u][v]; pPath[v] = u; } } } }void TestGraphDijkstra() { const char* str = "syztx"; Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str)); g.AddEdge('s', 't', 10); g.AddEdge('s', 'y', 5); g.AddEdge('y', 't', 3); g.AddEdge('y', 'x', 9); g.AddEdge('y', 'z', 2); g.AddEdge('z', 's', 7); g.AddEdge('z', 'x', 6); g.AddEdge('t', 'y', 2); g.AddEdge('t', 'x', 1); g.AddEdge('x', 'z', 4); vector<int> dist; vector<int> parentPath; g.Dijkstra('s', dist, parentPath); g.PrintShortPath('s', dist, parentPath); }
2.单源最短路径--Bellman-Ford算法
Dijkstra算法只能用来解决正权图的单源最短路径问题，但有些题目会出现负权图。这时这个算法就不能帮助我们解决问题了，而bellman—ford算法(贝尔曼-福特算法)可以解决负权图的单源最短路径问题。它的优点是可以解决有负权边的单源最短路径问题，而且可以用来判断是否有负权回路。它也有明显的缺点，它的时间复杂度 O(N*E) (N是点数，E是边数)普遍是要高于Dijkstra算法O(N²)的。像这里 如果我们使用邻接矩阵实现，那么遍历所有边的数量的时间复杂度就是O(N^3)，这里也可以看出来Bellman-Ford就是一种暴力求解更新
//时间复杂度:O(N^3),空间复杂度:O(N) bool BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t n = _vertexs.size(); // vector<W> dist,记录srci-其他顶点最短路径权值数组 dist.resize(n, MAX_W); // vector<int> pPath 记录srci-其他顶点最短路径父顶点数组 pPath.resize(n, -1); // 先更新srci->srci为最小值 dist[srci] = W(); for (size_t k = 0; k < n; ++k) { bool updata = false; cout << "更新第" << k << "轮:" << endl; for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]) { updata = true; cout << _vertexs[i] << "->" << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl; dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j]; pPath[j] = i; } } } //如果这个轮次没有更新出最短路径,后续轮次就不需要再走 if (updata == false) break; } //如果还能更新就是带负权回路 for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]) { return false; } } } return true; }void TestGraphBellmanFord() { const char* str = "syztx"; Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str)); g.AddEdge('s', 't', 6); g.AddEdge('s', 'y', 7); g.AddEdge('y', 'z', 9); g.AddEdge('y', 'x', -3); //g.AddEdge('y', 's', 1);//新增 g.AddEdge('z', 's', 2); g.AddEdge('z', 'x', 7); g.AddEdge('t', 'x', 5); g.AddEdge('t', 'y', 8); //g.AddEdge('t', 'y', -8);//更改 g.AddEdge('t', 'z', -4); g.AddEdge('x', 't', -2); vector<int> dist; vector<int> parentPath; if (g.BellmanFord('s', dist, parentPath)) { g.PrintShortPath('s', dist, parentPath); } else { cout << "存在负权回路" << endl; } }
3.多源最短路径--Floyd-Warshall算法
Floyd-Warshall算法(弗洛伊德算法)是解决任意两点间的最短路径的一种算法
Floyd算法考虑的是一条最短路径的中间节点，即简单路径p={v1,v2,…,vn}上除v1和vn的任意节点
设k是p的一个中间节点，那么从i到j的最短路径p就被分成i到k和k到j的两段最短路径p1，p2。p1 是从i到k且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。p2是从k到j且中间节点属于{1， 2，…，k-1}取得的一条最短路径
Floyd算法本质是三维动态规划，D[i][j][k]表示从点i到点j只经过0到k个点最短路径，然后建立 起转移方程，然后通过空间优化，优化掉最后一维度，变成一个最短路径的迭代算法，最后即得到所有点的最短路径
void FloydWarShall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>& vvpPath) { size_t n = _vertexs.size(); vvDist.resize(n); vvpPath.resize(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { vvDist[i].resize(n, MAX_W); vvpPath[i].resize(n, -1); } for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (_matrix[i][j] != MAX_W) { vvDist[i][j] = _matrix[i][j]; vvpPath[i][j] = i; } if (i == j) { vvDist[i][j] = 0; } } } //最短路径的更新 for (size_t k = 0; k < n; ++k) { for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W && vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j]) { vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j]; vvpPath[i][j] = vvpPath[k][j]; } } } } }void TestFloydWarShall() { const char* str = "12345"; Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str)); g.AddEdge('1', '2', 3); g.AddEdge('1', '3', 8); g.AddEdge('1', '5', -4); g.AddEdge('2', '4', 1); g.AddEdge('2', '5', 7); g.AddEdge('3', '2', 4); g.AddEdge('4', '1', 2); g.AddEdge('4', '3', -5); g.AddEdge('5', '4', 6); vector<vector<int>> vvDist; vector<vector<int>> vvParentPath; g.FloydWarShall(vvDist, vvParentPath); // 打印任意两点之间的最短路径 for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i) { g.PrintShortPath(str[i], vvDist[i], vvParentPath[i]); cout << endl; } }
六.整体实现
1.UnionFindSet.h
#pragma once #include<vector> class UnionFindSet { public: UnionFindSet(size_t n) :_ufs(n, -1) { } int FindRoot(int x) { int root = x; while (_ufs[root] >= 0) root = _ufs[root]; //路径压缩 while (_ufs[x] >= 0) { int parent = _ufs[x]; _ufs[x] = root; x = parent; } return root; } bool Union(int x1, int x2) { int root1 = FindRoot(x1); int root2 = FindRoot(x2); if (root1 == root2)//x1和x2本来就在一个集合中 return false; //数据量小的向大的合并 if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2])) swap(root1, root2); _ufs[root1] += _ufs[root2]; _ufs[root2] = root1; return true; } bool InSet(int x1, int x2) { return FindRoot(x1) == FindRoot(x2); } size_t SetSize() { size_t n = 0; for (auto& e : _ufs) { if (e < 0) ++n; } return n; } private: vector<int> _ufs; }; void TestUoionFindSet() { UnionFindSet ufs(10); ufs.Union(8, 9); ufs.Union(7, 8); ufs.Union(6, 7); ufs.Union(5, 6); ufs.Union(4, 5); }2.Graph.h
#pragma once #include<vector> #include<string> #include<map> #include<queue> #include<set> #include<functional> namespace matrix { template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false> class Graph { typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self; public: //图的创建 //1.IO输入->不方便测试,oj中更适合 //2.图结构关系写到文件,读取文件 //3.手动添加边 Graph() = default; Graph(const V* a, size_t n) { _vertexs.reserve(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { _vertexs.push_back(a[i]); _indexMap[a[i]] = i; } _matrix.resize(n); for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i) { _matrix[i].resize(n, MAX_W); } } size_t GetVertexIndex(const V& v) { auto it = _indexMap.find(v); if (it != _indexMap.end()) { return it->second; } else { //assert(false); throw invalid_argument("顶点不存在"); return -1; } } void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w) { _matrix[srci][dsti] = w; //无向图 if (Direction == false) { _matrix[dsti][srci] = w; } } void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t dsti = GetVertexIndex(dst); _AddEdge(srci, dsti, w); } void Print() { //顶点 for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i) { cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl; } cout << endl; //矩阵 //横下标 cout << " "; for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i) { //cout << i << " "; printf("%4d", i); } cout << endl; for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i) { cout << i << " ";//竖下标 for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j) { //cout << _matrix[i][j] << " "; if (_matrix[i][j] == MAX_W) { //cout << "* "; printf("%4c", '*'); } else { //cout << _matrix[i][j] << " "; printf("%4d", _matrix[i][j]); } } cout << endl; } cout << endl; } void BFS(const V& src) { size_t srci = GetVertexIndex(src); //队列和标记数组 queue<int> q; vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); q.push(srci); visited[srci] = true; int levelSize = 1; size_t n = _vertexs.size(); while (!q.empty()) { //一层一层出 for (int i = 0; i < levelSize; ++i) { int front = q.front(); q.pop(); cout << front << ":" << _vertexs[front] << " "; //把front顶点的邻接顶点入队列 for (size_t i = 0; i < n; ++i) { if (_matrix[front][i] != MAX_W) { if (visited[i] == false) { q.push(i); visited[i] = true; } } } } cout << endl; levelSize = q.size(); } cout << endl; } void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited) { cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << endl; visited[srci] = true; //找一个和srci相邻的没有访问过的点,去深度遍历 for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i) { if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false) { _DFS(i, visited); } } } void DFS(const V& src) { size_t srci = GetVertexIndex(src); vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); _DFS(srci, visited); } struct Edge { size_t _srci; size_t _dsti; W _w; Edge(size_t srci, size_t dsti, const W& w) :_srci(srci), _dsti(dsti), _w(w) { } bool operator>(const Edge& e) const { return _w > e._w; } }; W Kruskal(Self& minTree) { size_t n = _vertexs.size(); minTree._vertexs = _vertexs; minTree._indexMap = _indexMap; minTree._matrix.resize(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W); } priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minque; for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W) { minque.push(Edge(i, j, _matrix[i][j])); } } } cout << "Kruskal开始选边:" << endl; //选出n-1条边 int size = 0; W totalW = W(); UnionFindSet ufs(n); while (!minque.empty()) { Edge min = minque.top(); minque.pop(); if (!ufs.InSet(min._srci, min._dsti)) { cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl; minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w); ufs.Union(min._srci, min._dsti); ++size; totalW += min._w; } else { cout << "构成环"; cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl; } } cout << endl; if (size == n - 1) { return totalW; } else { return W(); } } W Prim(Self& minTree, const W& src) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t n = _vertexs.size(); minTree._vertexs = _vertexs; minTree._indexMap = _indexMap; minTree._matrix.resize(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W); } vector<bool> X(n, false); vector<bool> Y(n, true); X[srci] = true; Y[srci] = false; //从X到Y集合相连接的边中选出值最小的边 priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minq; //将srci连接的边添加到队列中 for (size_t i = 0; i < n; ++i) { if (_matrix[srci][i] != MAX_W) { minq.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i])); } } cout << "Prim开始选边:" << endl; int size = 0; W totalW = W(); while (!minq.empty()) { Edge min = minq.top(); minq.pop(); if (X[min._dsti]) { cout << "构成环"; cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl; } else { minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w); cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl; X[min._dsti] = true; Y[min._dsti] = false; ++size; totalW += min._w; if (size == n - 1) break; for (size_t i = 0; i < n; ++i) { if (_matrix[min._dsti][i] != MAX_W && Y[i]) { minq.push(Edge(min._dsti, i, _matrix[min._dsti][i])); } } } } cout << endl; if (size == n - 1) { return totalW; } else { return W(); } } void PrintShortPath(const V& src, const vector<W>& dist, const vector<int>& pPath) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t n = _vertexs.size(); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { if (i != srci) { //找出i顶点的路径 vector<int> path; size_t parenti = i; while (parenti != srci) { path.push_back(parenti); parenti = pPath[parenti]; } path.push_back(srci); reverse(path.begin(), path.end()); for (auto index : path) { cout << _vertexs[index] << "->"; } cout << "权值和: " << dist[i] << endl; } } } //时间复杂度:O(N^2),空间复杂度:O(N) void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t n = _vertexs.size(); dist.resize(n, MAX_W); pPath.resize(n, -1); dist[srci] = 0; pPath[srci] = srci; //已经确定最短路径的顶点集合 vector<bool> S(n, false); for (size_t j = 0; j < n; ++j) { //选出最短路径顶点且不在S更新其他路径 int u = 0; W min = MAX_W; for (size_t i = 0; i < n; ++i) { if (S[i] == false && dist[i] < min) { u = i; min = dist[i]; } } S[u] = true; //松弛更新 for (size_t v = 0; v < n; ++v) { if (S[v] == false && _matrix[u][v] != MAX_W && dist[u] + _matrix[u][v] < dist[v]) { dist[v] = dist[u] + _matrix[u][v]; pPath[v] = u; } } } } //时间复杂度:O(N^3),空间复杂度:O(N) bool BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t n = _vertexs.size(); // vector<W> dist,记录srci-其他顶点最短路径权值数组 dist.resize(n, MAX_W); // vector<int> pPath 记录srci-其他顶点最短路径父顶点数组 pPath.resize(n, -1); // 先更新srci->srci为最小值 dist[srci] = W(); for (size_t k = 0; k < n; ++k) { bool updata = false; cout << "更新第" << k << "轮:" << endl; for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]) { updata = true; cout << _vertexs[i] << "->" << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl; dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j]; pPath[j] = i; } } } //如果这个轮次没有更新出最短路径,后续轮次就不需要再走 if (updata == false) break; } //如果还能更新就是带负权回路 for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]) { return false; } } } return true; } void FloydWarShall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>& vvpPath) { size_t n = _vertexs.size(); vvDist.resize(n); vvpPath.resize(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { vvDist[i].resize(n, MAX_W); vvpPath[i].resize(n, -1); } for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (_matrix[i][j] != MAX_W) { vvDist[i][j] = _matrix[i][j]; vvpPath[i][j] = i; } if (i == j) { vvDist[i][j] = 0; } } } //最短路径的更新 for (size_t k = 0; k < n; ++k) { for (size_t i = 0; i < n; ++i) { for (size_t j = 0; j < n; ++j) { if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W && vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j]) { vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j]; vvpPath[i][j] = vvpPath[k][j]; } } } } } private: vector<V> _vertexs; //顶点集合 map<V, int> _indexMap; //顶点映射下标 vector<vector<W>> _matrix; //邻接矩阵 }; void TestGraph1() { Graph<char, int> g("0123", 4); //Graph<char, int, true> g("0123", 4); g.AddEdge('0', '1', 1); g.AddEdge('0', '3', 4); g.AddEdge('1', '3', 2); g.AddEdge('1', '2', 9); g.AddEdge('2', '3', 8); g.AddEdge('2', '1', 5); g.AddEdge('2', '0', 3); g.AddEdge('3', '2', 6); g.Print(); } void TestBDFS() { string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" }; Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string)); g1.AddEdge("张三", "李四", 100); g1.AddEdge("张三", "王五", 200); g1.AddEdge("王五", "赵六", 30); g1.AddEdge("王五", "周七", 30); g1.Print(); g1.BFS("张三"); g1.DFS("张三"); } void TestGraphMinTree() { const char str[] = "abcdefghi"; Graph<char, int> g(str, strlen(str)); g.AddEdge('a', 'b', 4); g.AddEdge('a', 'h', 8); g.AddEdge('a', 'h', 9); g.AddEdge('b', 'c', 8); g.AddEdge('b', 'h', 11); g.AddEdge('c', 'i', 2); g.AddEdge('c', 'f', 4); g.AddEdge('c', 'd', 7); g.AddEdge('d', 'f', 14); g.AddEdge('d', 'e', 9); g.AddEdge('e', 'f', 10); g.AddEdge('f', 'g', 2); g.AddEdge('g', 'h', 1); g.AddEdge('g', 'i', 6); g.AddEdge('h', 'i', 7); Graph<char, int> kminTree; cout << "Kruskal:" << g.Kruskal(kminTree) << endl; kminTree.Print(); cout << endl; Graph<char, int> pminTree; cout << "Prim:" << g.Prim(pminTree, 'a') << endl; pminTree.Print(); } void TestGraphDijkstra() { const char* str = "syztx"; Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str)); g.AddEdge('s', 't', 10); g.AddEdge('s', 'y', 5); g.AddEdge('y', 't', 3); g.AddEdge('y', 'x', 9); g.AddEdge('y', 'z', 2); g.AddEdge('z', 's', 7); g.AddEdge('z', 'x', 6); g.AddEdge('t', 'y', 2); g.AddEdge('t', 'x', 1); g.AddEdge('x', 'z', 4); vector<int> dist; vector<int> parentPath; g.Dijkstra('s', dist, parentPath); g.PrintShortPath('s', dist, parentPath); } void TestGraphBellmanFord() { const char* str = "syztx"; Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str)); g.AddEdge('s', 't', 6); g.AddEdge('s', 'y', 7); g.AddEdge('y', 'z', 9); g.AddEdge('y', 'x', -3); //g.AddEdge('y', 's', 1);//新增 g.AddEdge('z', 's', 2); g.AddEdge('z', 'x', 7); g.AddEdge('t', 'x', 5); g.AddEdge('t', 'y', 8); //g.AddEdge('t', 'y', -8);//更改 g.AddEdge('t', 'z', -4); g.AddEdge('x', 't', -2); vector<int> dist; vector<int> parentPath; if (g.BellmanFord('s', dist, parentPath)) { g.PrintShortPath('s', dist, parentPath); } else { cout << "存在负权回路" << endl; } } void TestFloydWarShall() { const char* str = "12345"; Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str)); g.AddEdge('1', '2', 3); g.AddEdge('1', '3', 8); g.AddEdge('1', '5', -4); g.AddEdge('2', '4', 1); g.AddEdge('2', '5', 7); g.AddEdge('3', '2', 4); g.AddEdge('4', '1', 2); g.AddEdge('4', '3', -5); g.AddEdge('5', '4', 6); vector<vector<int>> vvDist; vector<vector<int>> vvParentPath; g.FloydWarShall(vvDist, vvParentPath); // 打印任意两点之间的最短路径 for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i) { g.PrintShortPath(str[i], vvDist[i], vvParentPath[i]); cout << endl; } } } namespace link_table { template<class W> struct Edge { //int _srci; int _dsti; //目标点的下标 W _w; //权值 Edge<W>* _next; Edge(int dsti, const W& w) :_dsti(dsti), _w(w), _next(nullptr) { } }; template<class V, class W, bool Direction = false> class Graph { typedef Edge<W> Edge; public: Graph(const V* a, size_t n) { _vertexs.reserve(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { _vertexs.push_back(a[i]); _indexMap[a[i]] = i; } _tables.resize(n, nullptr); } size_t GetVertexIndex(const V& v) { auto it = _indexMap.find(v); if (it != _indexMap.end()) { return it->second; } else { //assert(false); throw invalid_argument("顶点不存在"); return -1; } } void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w) { size_t srci = GetVertexIndex(src); size_t dsti = GetVertexIndex(dst); Edge* eg = new Edge(dsti, w); eg->_next = _tables[srci]; _tables[srci] = eg; if (Direction == false) { Edge* eg = new Edge(srci, w); eg->_next = _tables[dsti]; _tables[dsti] = eg; } } void Print() { //顶点 for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i) { cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl; } cout << endl; for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i) { cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]->"; Edge* cur = _tables[i]; while (cur) { cout << "[" << _vertexs[cur->_dsti] << ":" << cur->_dsti << ":" << cur->_w << "]->"; cur = cur->_next; } cout << "nullptr" << endl; } } private: vector<V> _vertexs; //顶点集合 map<V, int> _indexMap; //顶点映射下标 vector<Edge*> _tables; //邻接表 }; void TestGraph2() { string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" }; //Graph<string, int, true> g1(a, 4); Graph<string, int> g1(a, 4); g1.AddEdge("张三", "李四", 100); g1.AddEdge("张三", "王五", 200); g1.AddEdge("王五", "赵六", 30); g1.Print(); } }3.test.cpp
#include<iostream> using namespace std; #include"UnionFindSet.h" #include"Graph.h" int main() { //TestUoionFindSet(); //matrix::TestGraph1(); //matrix::TestBDFS(); //matrix::TestGraphMinTree(); //matrix::TestGraphDijkstra(); //matrix::TestGraphBellmanFord(); matrix::TestFloydWarShall(); //link_table::TestGraph2(); return 0; }
