【算法通关指南：算法基础篇】 二维前缀和专题： 1. 【模板】二维度前缀和，2.激光炸弹
《算法通关指南：算法基础篇 ---- 二维前缀和 — 1. 【模板】二维度前缀和，2.激光炸弹》
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前言
本专栏聚焦算法题实战，系统讲解算法模块：以《c++编程》，《数据结构和算法》《基础算法》《算法实战》 等几个板块以题带点，讲解思路与代码实现，帮助大家快速提升代码能力ps:本章节题目分两部分，比较基础笔者只附上代码供大家参考，其他的笔者会附上自己的思考和讲解，希望和大家一起努力见证自己的算法成长
一、二维前缀和
1.1 核心问题
1.1.1 创建前缀和矩阵
创建前缀和矩阵：f[i][j] = f[i − 1][j] + f[i][j − 1] − f[i − 1][j − 1] + a[i][j]
2.2.2 查询以(x1 , y1)为左上角,(x2 , y2)为右下角的子矩阵的和
核心公式：f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1-1] + f[x - 1][y1- 1]
二、二维前缀和经典算法题
2.1【模板】前缀和
2.1.1题目
链接：【模板】二维度前缀和
2.1.2 算法原理
依照刚才讲解前缀和原理模拟即可
2.1.3代码
#include<iostream> using namespace std;typedeflonglong LL;constint N =1010; LL f[N][N];intmain(){int n, m, q; cin >> n >> m >> q;for(int i =1; i <= n; i++){for(int j =1; j <= m; j++){ LL x; cin >> x; f[i][j]= f[i -1][j]+ f[i][j -1]- f[i -1][j -1]+ x;}}while(q--){int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2; cout << f[x2][y2]- f[x1 -1][y2]- f[x2][y1 -1]+ f[x1 -1][y1 -1]<< endl;}return0;}2.2 激光炸弹
2.2.1 题目
链接：激光炸弹
2.2.2 算法原理
可以用一个二维矩阵将所有目标的价值存起来，其中a[i][j] 表示[i, j] 位置的目标价值之和。
一颗炸弹能够获得的价值正好是一个R × R的一个正方形内所有目标的价值总和，那么我们可以求出矩阵的前缀和矩阵，然后枚举所有边长为R 的子正方形的价值之和，求出里面的最大值即可。
解决两个核心问题：
（1）如何枚举边长为R 的所有正方形：
• 仅需枚举右下角[x2 , y2 ] (R + 1 ≤ x2 ≤ 5000, R + 1 ≤ y2 ≤ 5000) ，那么结合边长， 就可算出左上角[x2 − R + 1, y2 − R + 1] 。
• 代入前缀和矩阵中，就可以快速求出这个正方形内所有目标的总价值。
（2）细节问题：
•题目中某⼀个位置会「重复」出现，因此a[i][j]+ = w ；
• 半径R 可能「超过5000 」，此时炸弹可以摧毁所有目标，也就是整个矩阵的目标价值之和。
2.2.3 代码
#include<iostream>#include<cmath> using namespace std;constint N =5010;int f[N][N];int a[N][N];int n, m;intmain(){ cin >> n >> m;for(int i =1; i <= n; i++){int x, y, v; cin >> x >> y >> v; x++, y++; a[x][y]+= v;} n =5001;for(int i =1; i <= n; i++){for(int j =1; j <= n; j++) f[i][j]= f[i -1][j]+ f[i][j -1]- f[i -1][j -1]+ a[i][j];}int ret =0; m =min(m, n);for(int x2 = m; x2 <= n; x2++){for(int y2 = m; y2 <= n; y2++){int x1 = x2 - m +1;int y1 = y2 - m +1; ret =max(ret, f[x2][y2]- f[x1 -1][y2]- f[x2][y1 -1]+ f[x1 -1][y1 -1]);}} cout << ret << endl;return0;}总结与每日励志
✨本文介绍了二维前缀和的核心概念与应用，包括如何构建前缀和矩阵（公式：f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1] - f[i-1][j-1] + a[i][j]）以及查询子矩阵和的快速计算方法。通过两道经典算法题（模板题和激光炸弹）演示了实际应用，强调正确处理边界条件和重复值的重要性。文章最后以励志话语作结，鼓励读者坚持学习算法编程。
