【玩转机械臂】（二）机器人DH参数模型与正运动学

笔者注：这是【玩转机械臂】专栏的第（二）篇文章，内容主体来源于笔者近期的学习与思考。作为持续学习的过程，笔者亦是抱着“边学边写”的态度，以做笔记的方式记录下专业领域的相关知识，愿能为更多处于学习或研究初期志同道合的朋友提供参考，文中如有疏漏之处，恳请广大前辈和读者批评指正。文末将附上有前后衔接关系的相应文章链接，欢迎跳转查看。

1 DH参数模型（Denavit-Hartenberg）

1.1 四个DH参数的定义

记基座为坐标系{0}，此后的每个可动关节依次记为关节1,2,...,i,...；第i个关节与下一个关节之间的连接部分称为连杆i。考虑关节i与i-1（“关节0”即为基座），首先标出各自的转轴（或平动轴），如果是基座则取一较方便的、符合实际几何关系的方向（一般为基座坐标系的z轴）为“轴”。

这两轴的关系一共有三种：异面、相交和平行，由此定义以下两个参数：

连杆长度

：轴i-1与轴i的距离。两轴平行时距离容易理解；两轴相交时距离为0；两轴异面时，应先作出公垂线，取公垂线与二者的交点所构成线段的长度为两轴距离。连杆长度是绝对值，只有非负值，不区分方向。
连杆长度描述了相邻两关节间的相对距离关系。

连杆扭角

：轴i-1与轴i的夹角。两轴相交时，夹角容易理解；两轴平行时，夹角为0；两轴异面时，应现将其中一者沿公法线平移至另一轴所在平面后再取相交的夹角。确定扭角方向时，应遵循“右手定则”：右手拇指沿

所在直线从i-1指向i，四指弯曲方向即为扭角正方向。
关节扭角描述了相邻两关节的相对朝向关系。

需要注意的是，对于末端关节n而言，由于已经没有关节n+1，末端关节的杆长

与扭角

无实际意义，通常不定义或定义为0，简记为“向后定义，有始无终”。

在作出各个连杆长度后，考虑相邻的两杆长

、

各自所在的直线（即两轴的公垂线），则依旧有异面、相交和平行三种可能的位置关系，由此继续定义两个参数：

关节距离

：直线

与

的距离，具体定义与连杆长度中两轴距离的定义一致，同样也是绝对值，只有非负值，不区分方向。
关节距离描述了相邻两连杆的相对距离关系。如果关节i是移动关节，则

即为可变的关节变量。

关节转角

：直线

与

的夹角，方向同样符合“右手定则”，注意拇指应沿

从i-1指向i。
关节转角描述了相邻两连杆的相对朝向关系。如果关节i是转动关节，则

即为可变的关节变量。

需要注意的是，对于关节0（基座）而言，由于没有更靠前的关节，因而

与

无实际意义，通常不定义或定义为0，简记为“向前定义，有终无始”。

以上四个参数称为DH参数。一旦机器人的机械结构确定，那么每个关节的4个DH参数也随之确定，一般而言不会在机器人运动的过程中改变。可以说，用DH参数就可以抽象出机器人的根本结构，并且最“简明扼要”地描绘出机构的“骨架”、“轮廓”。4个参数的定义及特点汇总如下：

表1 DH参数的定义及其特点
参数名称	参数符号	参与定义的部件	具体定义	无定义的部位	意义
连杆长度	$a_{i}$	关节i与关节i+1 （向后定义）	轴距离	末端关节（有始无终）	结构参数
连杆扭角	$\alpha_{i}$	关节i与关节i+1 （向后定义）	轴夹角	末端关节（有始无终）	结构参数
关节距离	$d_{i}$	关节i与关节i-1 （向前定义）	杆距离	基座（关节0）（有终无始）	移动关节变量
关节转角	$\theta_{i}$	关节i与关节i-1 （向前定义）	杆夹角	基座（关节0）（有终无始）	转动关节变量

1.2 机器人坐标系的建立方法

确定DH参数后，还应当为各个关节建立起相应的坐标系，以便利用基本的坐标变换知识实现不同关节间物理量的变换。常用的基本坐标变换请参见：

【玩转机械臂】（一）机器人学的数学基础：坐标变换与位姿描述https://blog.ZEEKLOG.net/ych0872/article/details/152418042?spm=1001.2014.3001.5501 确定坐标系的步骤是：

在各个关节上标出转轴或移动轴，并作为坐标系的z轴。z轴的方向可任意选取，但一般应尽量保持一致。
根据已确定好的x轴和z轴，确定y轴。

以公垂线

为x轴，其正方向为从i-1指向i。

对于平行的两轴i-1与i，则公垂线可任意选取（对应第2步中

存在多种取值的情况），但一般应尽量选取能使

的公垂线，之后再取与轴i-1的交点为原点。

对于不平行的两轴i-1与i，取公垂线

与轴i-1的交点作为系{i-1}的原点；

依据标出的轴线分别计算

与

、

与

。注意，如果存在平行的两轴，则此时

可能存在多种取值，此时可暂时跳过

的计算，继续进行后续步骤。

在选取DH参数坐标系时如果存在“争议”，事实上大可放心选取，因为不同的建系方式其实并不会影响计算的正确性，只要在每一种建系方式下DH参数的定义都自洽即可。

注意：基座{0}没有转轴或移动轴，因此其z轴不能根据轴位置来确定，应当根据实际几何位置的需求确定；末端{n}没有后续的关节（即没有有效的

），因此其x轴不能根据

来确定，也需要根据实际来确定。

可以看到，在这样一套与DH参数相匹配的坐标系中，连杆长度

总是沿着坐标系{i}的x轴，连杆扭角

总是绕坐标系{i}的x轴按右手定则旋转而成。关节距离

总是沿着坐标系{i}的z轴，关节转角

总是绕坐标系{i}的z轴按右手定则旋转而成。在有了上述的统一规范之后，用坐标变换来描述各机构的位置关系就变得容易了。

1.3 DH参数表及相应坐标变换

假设机器人机构拥有n个关节，则每个关节（第i个）都拥有4个DH参数，因而一共定义有4*n个参数（关节0上应+2个参数，但关节n上又-2个参数）。将各个参数列在一张(n+1)行、4列的表中，称为DH参数表：

表2 DH参数表
		$\alpha_i$		$\theta_i$
0		$\alpha_0$	none (or 0)	none (or 0)
1		$\alpha_1$		$\theta_1$
2		$\alpha_2$		$\theta_2$
...	...	...	...	...
n	none (or 0)	none (or 0)		$\theta_n$

这张DH参数表就包含了一座机器人最核心的结构信息。当然还有另一种形式的DH参数表，只有n行，如表3所示，这种形式的DH参数表适合用于构建关节间的坐标变换矩阵。

表3 DH参数表（另一种形式）
	$a_{i-1}$	$\alpha_{i-1}$		$\theta_i$
1		$\alpha_0$		$\theta_1$
2		$\alpha_1$		$\theta_2$
3		$\alpha_2$		$\theta_3$
...	...	...	...	...
n	$a_{n-1}$	$\alpha_{n-1}$		$\theta_n$

根据DH参数以及先前建立起的坐标系规则，根据坐标的相对变换关系（矩阵右乘）可推知从{i}到{i-1}的坐标齐次变换矩阵为：

^{i-1}_iT=\mathrm{Rot}(x,\alpha_{i-1})\mathrm{Trans}(x,a_{i-1})\mathrm{Rot}(z,\theta_i)\mathrm{Trans}(x,d_i)

. (1)

由此，若需要将机器人末端坐标变换到基座，则总的变换矩阵为：

. (2)

2 机器人正向运动学

机器人运动过程中的物理量可分为两类：关节变量与广义/操作变量，由变量又分别构成了关节空间和操作空间。

关节变量：可驱动关节上能够随控制指令而改变的变量，包括转动关节的关节角度和移动关节的移动距离。当机构中有n个可动关节时，关节变量就有n个。

广义/操作变量：一般指机械臂末端或被研究的某点在实际工作需求中的位姿变量，例如空间位置（x,y,z）和姿态角度(θ,φ,ψ)。由于三维空间中运动自由度的限制，广义/操作变量最多只有6个。

机器人运动学，实际上研究的就是关节空间与广义/操作空间之间的映射关系。由关节空间推知操作空间，即为正运动学；反之，由操作空间推知工作空间，即为逆运动学。

此外，比关节空间更底层的还有驱动器空间[3]，其作用是描述驱动装置是如何影响关节运动的，例如差速小车各轮速度与转角、位移之间的关系，关节舵机占空比大小与关节转角之间的关系等。不过驱动器空间与关节空间之间的解算关系求解起来相对容易，本文不展开叙述。

2.1 正运动学与雅可比矩阵

机器人正运动学将关节变量映射为操作变量，若记关节变量为

\boldsymbol{q}:=\left [ \begin{matrix} q_1 & q_2 & \cdots & q_n \end{matrix} \right ]^\mathrm{T}

，操作变量为

\boldsymbol{r}:=\left [ \begin{matrix} r_1 & r_2 & \cdots & r_m \end{matrix} \right ]^\mathrm{T},\;m\le6

，则正运动学

\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m

可表示为：

\boldsymbol{r}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{q})

. (3)

通常有n≥m，因为n<m时总存在某些广义变量的运动是受限的（即缺少相应的自由度），这被称为欠驱动结构。n=m时，任意关节坐标与唯一的广义坐标对应，也就是说每一关节适配一个自由度；n>m时，同一广义坐标可能对应不同的关节坐标，称为关节变量的冗余设计。

一般而言，在有DH参数的情况下，依据(1)(2)两式可以很方便地推出末端位姿矩阵关于关节变量

或

的关系，并依据选取的的位置描述方法（如笛卡尔坐标、求坐标等）和姿态描述方法（如欧拉角、RPY等）对位姿矩阵进行变换，就可以获得正运动学关系(3)。

考虑到正运动学关系是向量函数，假设

\boldsymbol{f}(\cdot)=\left [ \begin{matrix} f_1(\cdot) & f_2(\cdot) & \cdots & f_m(\cdot) \end{matrix} \right ]^\mathrm{T}

，在确定了正运动学关系式的基础上，引入运动的微分，用以下雅可比矩阵（Jacobian Matrix）表示：

\boldsymbol{J}(\boldsymbol{q}):=\dfrac{\partial \boldsymbol{f}(\boldsymbol{q})}{\partial \boldsymbol{q}^{\mathrm{T}}}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1(\boldsymbol{q})}{\partial q_1}& \dfrac{\partial f_1(\boldsymbol{q})}{\partial q_2} &\cdots & \dfrac{\partial f_1(\boldsymbol{q})}{\partial q_n} \\ \\ \dfrac{\partial f_2(\boldsymbol{q})}{\partial q_1}& \dfrac{\partial f_2(\boldsymbol{q})}{\partial q_2} &\cdots & \dfrac{\partial f_2(\boldsymbol{q})}{\partial q_n}\\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \dfrac{\partial f_m(\boldsymbol{q})}{\partial q_1}& \dfrac{\partial f_m(\boldsymbol{q})}{\partial q_2} &\cdots & \dfrac{\partial f_m(\boldsymbol{q})}{\partial q_n} \end{bmatrix}_{m\times n}

. (3)

该矩阵反映了瞬时的微小关节变量变化将会引起的广义变量的变化，也就是微分运动量：

\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{q})\mathrm{d}\boldsymbol{q}

, (4)

进而可知两个空间之间瞬时速度的关系：

\dot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{q})\dot{\boldsymbol{q}}

. (5)

反之，也有

\dot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{q})^{-1}\dot{\boldsymbol{r}}\;\;\;(m=n)

, (6)

\dot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{q})^{\dagger }\dot{\boldsymbol{r}}\;\;\;(m\neq n)

. (7)

可见，雅可比矩阵是连接关节变量空间与广义变量空间之间的桥梁。

m=n时，若雅可比矩阵奇异，即

\det{\left [ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{q}_s) \right ]}=0

，则称此时的关节点位

为奇异形位。奇异形位意味着此时雅可比矩阵不可逆，方程(5)不存在唯一解；同时，必然存在某些广义变量能直接被其他广义变量表示（线性相关），即关节存在耦合关系、运动受限，2个（甚至更多）关节变量会退化成一个关节变量。

除此之外，雅可比矩阵奇异时还可以这样理解：奇异形位处，需要关节变量的速度达到无穷大，才能同时使得某个广义变量获得期望的速度，这在现实中显然是不可能的。也就是说，关节变量失去了对某个广义变量独立控制的作用，相应的自由度已经丧失。

m>n时，本就存在(m-n)个广义变量不受控；m<n时，存在冗余的关节变量，即同一广义速度可能对应多个关节速度，这些冗余的解为绕过奇异位形提供了备选方案。这两种情况下，雅可比矩阵的逆是广义逆（或称伪逆），即式(7)所示。

需要注意的是，雅可比矩阵不为常量，而是与当前的关节变量

有关。

3 机器人运动的速度

(5)式揭示了机器人运动过程中关节空间与广义空间之间的速度关系。然而，在具体分析机器人各部位的运动情况时，通常还需要获知同一空间中不同坐标系之间的速度关系。以下将针对速度的坐标变换具体展开叙述。

3.1 速度在的坐标系间的变换

3.1.1 速度变换的一般形式

现考虑{A}{B}两系与某一动点

，则根据上一篇中坐标齐次变换的知识，可知该点在两系之间的位置坐标关系为

^A\boldsymbol{p}={^A_B\boldsymbol{R}}\;{^B\boldsymbol{p}}+{^A\boldsymbol{p}_{B_0}}

. (8)

若要获得该点的瞬时速度，可在上式两边分别对时间求导，即

^A\boldsymbol{\dot{p}}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ({^A_B\boldsymbol{R}}\;{^B\boldsymbol{p}} \right )+{^A\boldsymbol{\dot{p}}_{B_0}}

. (9)

进一步将导数项展开，可知{A}系中p点的速度由三部分构成：

\underbrace{^A\boldsymbol{\dot{p}}}_{\mathrm{motion\;of\;\boldsymbol{p}\;in\;\left \{ A \right \}}}=\;\;\underbrace{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ({^A_B\boldsymbol{R}}\right ){^B\boldsymbol{p}}}_{\mathrm{rotation\;of\;\left \{ B \right \}}}+ \underbrace{{^A_B\boldsymbol{R}}\;{^B\boldsymbol{\dot{p}}}}_{\mathrm{motion\;of\;\boldsymbol{p}\;in\;\left \{ B \right \}}}+\underbrace{{^A\boldsymbol{\dot{p}}_{B_0}}}_{\mathrm{translation\;of\;\left \{ B \right \}}}

. (10)

其中第一项和第三项是由坐标系之间的相对运动引起，分别表示{B}系相对于{A}系的旋转运动与平移运动，而与点p自身的运动无关；只有第二项才代表了点p自身的运动属性。

3.1.2 用角速度矢量表示坐标系的旋转运动

在(10)式中，

\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ({^A_B\boldsymbol{R}}\right )

的物理意义实际上并不直观。为此，通常还使用角速度矢量来描述坐标系的旋转运动：

\boldsymbol{\omega}\in\mathbb{R}^3,\;\left \| \boldsymbol{\omega} \right \|=:\Omega

角速度矢量的物理意义是：以单位向量

\boldsymbol{f}:=\dfrac{\boldsymbol{\omega}}{\left \| \boldsymbol{\omega} \right \|}

的某一平行线为轴，依据“右手定则”的方向，按角速度大小

旋转。

需要注意的是，角速度矢量不仅大小可能时变，方向也可能是时变的，因此角速度矢量对时间的直接积分一般没有实际意义。不过，在机器人系统中，由于转轴矢量一般是恒定的，变化的只有角速度大小，因此角速度大小的积分可用于求取刚体的姿态角度，即通用坐标变换，其中。

若考虑某点的位矢

及其角速度矢量

，当转轴过原点时，该点由于转动而具有的线速度为：

\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}=\left | \begin{matrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} &\boldsymbol{k} \\ \omega_x & \omega_y &\omega_z \\ r_x &r_y & r_z \end{matrix} \right |

. (11)

如果在当前的坐标系{N}内转轴不过原点，则应先取一个能够使转轴过原点的坐标系{M}，在{M}中重新计算得该点的位矢和角速度矢量之后，才能使用式(11)。使用后，还应将转换结果重新变换回原坐标系{N}。

在表示坐标系{B}相对于系{A}的旋转运动时，使用带角标的角速度矢量

来表征。利用式(11)，可得{B}内任意一点

因坐标系{B}的旋转而在{A}中具有的线速度为

{^A\boldsymbol{\omega}_{B}}\times\left ({^A_B\boldsymbol{R}}\;{^B\boldsymbol{p}} \right )

，因此有：

\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ({^A_B\boldsymbol{R}}\right ){^B\boldsymbol{p}}={^A\boldsymbol{\omega}_{B}}\times\left ({^A_B\boldsymbol{R}}\;{^B\boldsymbol{p}} \right )

. (12)

(12)式实际上是提供了描述坐标系旋转运动的另一种方式。在实际应用时，可视情况选择左侧的导数描述形式或右侧的角速度矢量描述形式。

3.1.3 角速度矢量在不同坐标系之间的传递

角速度矢量本质上是一个三维矢量，在不同坐标系中的坐标形式遵循一般的坐标变换规则。不过，由于角速度矢量是自由矢量，不同起点的角速度矢量在同一坐标系内是可以相加的。现考虑在坐标系{A}中系{C}的角速度矢量，其中以{B}作为中间坐标系，则满足以下关系：

^{A}\boldsymbol{\omega}_C=\underbrace{{^{A}\boldsymbol{\omega}}_{B}}_\mathrm{rotation\;of\;\left \{ B \right \}}+\underbrace{{^A_B\boldsymbol{R}}\;{^{B}\boldsymbol{\omega}}_{C}}_\mathrm{rotation\;of\;\left \{ C \right \}\;in\;\left \{ B \right \}}

. (13)

该式可以这样理解：在{B}看来，{C}理所应当地拥有角速度

；但是换到{A}的视角，所有{B}系中的坐标都应进行变换，因此有

{^A_B\boldsymbol{R}}\;{^{B}\boldsymbol{\omega}}_{C}

；与此同时，{B}在{A}还可能拥有自身的角速度

，这个角速度应当进一步叠加到{C}上，因此有(13)式。

3.2 速度在机器人关节间的传递

接下来将以上通用理论运用到具体的机器人机构中：假设现有关节{i-1}与关节{i}，以及另一坐标系{0}，目的是通过{i-1}将{i}的速度变换至坐标系{0}。

3.2.1 转动关节向前传递

首先讨论{i}是转动关节的情况。

1. 角速度的传递：

以{i-1}为中间坐标系，套用式(13)可得：

^{0}\boldsymbol{\omega}_i={^{0}\boldsymbol{\omega}}_{i-1}+{^{0}_{i-1}\boldsymbol{R}}\;{^{i-1}\boldsymbol{\omega}}_{i}

由于{i-1}与{i}是相邻关节，二者之间的关系较简单，因此有

^{i-1}\boldsymbol{\omega}_i={^{i-1}_{i}\boldsymbol{R}}\;{^{i_a}\boldsymbol{\omega}}_{i}

需要说明的是，

表示一个与{i}初始位置重合，但不随{i}的转动而发生变化的绝对坐标系，应注意区分

与

（实际上

{^{i}\boldsymbol{\omega}}_{i}\equiv \boldsymbol{0}

）。若定义：

{^{i_a}\boldsymbol{\omega}}_{i}=\Omega_i\cdot{\hat{\boldsymbol{z}}}=\begin{bmatrix} 0& 0& \Omega_i \end{bmatrix}^\mathrm{T}

则最终的变换式应写作：

^{0}\boldsymbol{\omega}_i={^{0}\boldsymbol{\omega}}_{i-1}+\Omega_i\cdot{^{0}_{i}\boldsymbol{R}}{\hat{\boldsymbol{z}}}

. (14)

其中，

是关节变量的速度。

2. 线速度的传递：

套用式(10)(12)可得：

^{0}\boldsymbol{\dot{p}}_i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}_{i-1}+{^{0}_{i-1}\boldsymbol{R}}\;{^{i-1}\boldsymbol{\dot{p}}}_{i}+{^0\boldsymbol{\omega}_{i-1}}\times\left ({^0_{i-1}\boldsymbol{R}}\;{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right )

由于{i}是转动关节，坐标系{i}的原点在{i-1}看来只有转动而无平动，即

{^{0}_{i-1}\boldsymbol{R}}\;{^{i-1}\boldsymbol{\dot{p}}}_{i}=\boldsymbol{0}

因此通过下式可将{i}系的线速度传递到{i-1}上，进而再传递至坐标系{0}：

^{0}\boldsymbol{\dot{p}}_i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}_{i-1}+{^0\boldsymbol{\omega}_{i-1}}\times\left ({^0_{i-1}\boldsymbol{R}}\;{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right )

, (15)

其中

是坐标系{i}的原点在{i-1}中的位置矢量，可由DH参数及(1)式确定：

\begin{bmatrix} {^{i-1}\boldsymbol{p}_i}\\ 1 \end{bmatrix}={_{i}^{i-1}T}\cdot\left [ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]^\mathrm{T}

. (16)

3.2.2 移动关节向前传递

在移动关节中，{i}只有平动而无转动，因此在{i-1}看来

{^{i-1}\boldsymbol{\omega}}_{i}=\boldsymbol{0}

，故有：

^{0}\boldsymbol{\omega}_i={^{0}\boldsymbol{\omega}}_{i-1}

. (16)

也就是说，{i}在{0}看来的转动速度完全只由作为中间坐标系的前一关节{i-1}决定。

而在考虑线速度时，在转动关节中为零的项

{^{i-1}\boldsymbol{\dot{p}}}_{i}={^{i-1}_i\boldsymbol{R}}\;{^i\boldsymbol{\dot{p}}_i}

重新发挥了作用，其中

{^i\boldsymbol{\dot{p}}_i}=v_i\cdot{^i\hat{\boldsymbol{z}}}=\begin{bmatrix} 0& 0& v_i \end{bmatrix}^\mathrm{T}

并且

是关节的控制量，进而可得线速度的传递公式为：

^{0}\boldsymbol{\dot{p}}_i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}_{i-1}+v_i\cdot{^{0}_{i}\boldsymbol{R}}\;{^i\hat{\boldsymbol{z}}}+{^0\boldsymbol{\omega}_{i-1}}\times\left ({^0_{i-1}\boldsymbol{R}}\;{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right )

. (17)

3.2.3 小结

综上所述，当关节{i}为转动关节时：

\begin{cases} ^{0}\boldsymbol{\omega}_i={^{0}\boldsymbol{\omega}}_{i-1}+\Omega_i\cdot{^{0}_{i}\boldsymbol{R}}{\hat{\boldsymbol{z}}} \\ \\ ^{0}\boldsymbol{\dot{p}}_i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}_{i-1}+{^0\boldsymbol{\omega}_{i-1}}\times\left ({^0_{i-1}\boldsymbol{R}}\;{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right )\end{cases}

当关节{i-1}为移动关节时：

\begin{cases}^{0}\boldsymbol{\omega}_i={^{0}\boldsymbol{\omega}}_{i-1} \\ \\ ^{0}\boldsymbol{\dot{p}}_i={^{0}\boldsymbol{\dot{p}}}_{i-1}+v_i\cdot{^{0}_{i}\boldsymbol{R}}{\hat{\boldsymbol{z}}}+{^0\boldsymbol{\omega}_{i-1}}\times\left ({^0_{i-1}\boldsymbol{R}}\;{^{i-1}\boldsymbol{p}_i} \right )\end{cases}

其中

至此本文内容结束。下篇将继续梳理机器人逆运动学方面的知识，敬请关注！

参考文献

[1] 蔡自兴, 谢斌编著. 机器人学[M]. 清华大学出版社, 2015.
[2] 杨洋,苏鹏,郑昱编著.机器人控制理论基础[M]. 机械工业出版社, 2021.
[3] 樊泽明等编著. 机器人学基础[M]. 机械工业出版社, 2022.
[4] (日)白井良明编著. 机器人工程[M]. 科学出版社, 2001.

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【玩转机械臂】（一）机器人学的数学基础：坐标变换与位姿描述

【玩转倒立摆】（一）一阶倒立摆之 - 数学模型的建立

【玩转倒立摆】（二）一阶倒立摆之 - 基于全状态反馈的极点配置方案

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