无人机辅助MEC系统计算速率优化

无人机辅助的无线供能移动边缘计算系统中的 计算速率最大化

摘要

移动边缘计算（MEC）和无线能量传输（WPT）是 两种有前景的技术，可增强计算能力和延长物联网中普遍存在的 低功耗无线设备的运行时间。然而，严重的传播损耗会显著影响 计算性能和所收集的能量。为解决这一问题，本文研究了一种无 人机（UAV）使能的MEC无线供能系统。在部分计算卸载和二 进制计算卸载模式下，研究了该系统中的计算速率最大化问题， 同时考虑能量采集因果约束和无人机速度约束。这些问题具有非 凸性，求解具有挑战性。为此，分别提出了两阶段算法和三阶段 交替算法来求解所建立的问题。推导了最优中央处理器频率、用 户卸载时间和用户发射功率的闭式表达式。针对二进制计算卸载 模式，提出了用户选择本地计算或卸载计算任务的最优选择方案。 仿真结果表明，所提出的资源分配方案优于其他基准方案。结果 还表明，所提方案收敛速度快，且具有较低的计算复杂度。

Index Terms

移动边缘计算，无线能量传输，无人机使能，资源 分配，二进制计算卸载，部分计算卸载。

一、引言

THE 物联网（IoT）随着移动设备（如智能手机、基于 云的移动传感器、平板电脑和可穿戴设备）的空前普及而 得到广泛发展，促进了智能环境（如智慧城市、智能家居、 智能交通等）的实现[1]。物联网使移动用户能够体验智 能应用（如自动导航、人脸识别、无人驾驶等），并享受 高质量服务（QoS）的多样化服务，例如移动在线游戏、 增强现实等。这些服务通常要求大量尺寸受限且低功耗的 移动设备执行计算密集型和对延迟敏感的任务[2]。然而， 由于移动设备的计算能力较低且电池寿命有限，使其难以 胜任这些服务的运行。

移动边缘计算（MEC）和无线能量传输（WPT）被 认为是应对上述挑战的两项有前景的技术[2]‐[4]。近年来， MEC因其能够以低成本且节能的方式显著提升移动设备 的计算能力，受到了工业界和学术界的持续关注[2]。它 使得移动设备可以将其部分或全部计算密集型任务卸载到 位于无线网络边缘的MEC服务器上进行处理，例如蜂窝 基站（BSs）和接入点（APs）。与传统云计算不同， MEC服务器部署在靠近终端用户的位置。因此，MEC有 望提供低延迟服务、节省移动用户的能量并实现高安全性 [2]。迄今为止，已有许多领先企业（如IBM、英特尔和 华为）将MEC视为未来无线通信网络的一项有前景的技 术。通常情况下，MEC有两种操作模式，即部分计算卸 载和二进制计算卸载。在第一种模式中，计算任务可被划 分为两部分，其中一部分在本地执行，另一部分则卸载到 MEC服务器进行计算[5]‐[9]。对于第二种模式，计算任务 无法被分割，因此它们只能选择在本地执行或完全卸载 [10]。

另一方面，无线电力传输（WPT）可以利用射频（RF）信号[3]为低功耗移动设备提供可持续且低成本的能源供应。它有助于实 现持续的运行，使用户能够获得高质量的用户体验（QoE），特别 是在移动设备电池能量不足、无法卸载任务或在电量耗尽 时使用服务的情况下。与传统能量收集技术（如太阳能或 风能充电）相比，无线电力传输（WPT）更具吸引力， 因为它可以提供可控且稳定的电源[4]。预计通过将 WPT集成到移动边缘计算网络中，可显著提升计算性能 [11]‐[16]。然而，由于严重的传播损耗，所收集的能量水 平可能显著降低。最近，提出了一种基于无人机（UAV） 的WPT架构，以提高能量传输效率[17]‐[20]。该架构利 用无人机（UAV）作为能量发射器，为地面移动用户提 供能量。研究表明，由于存在短距离视距（LoS）能量传 输链路的可能性较高，所收集的能量水平可大幅提升[17]‐ [20]。此外，采用无人机辅助的移动边缘计算架构也可提 升计算性能[21]‐[25]。进一步地，无人机辅助架构具有灵 活部署和低运营成本的优势，在自然灾害导致传统通信系 统损毁的情况下尤为有用[26]‐[32]。

A. 相关工作与动机

在无线供能的移动边缘计算系统中，设计资源分配方 案以有效利用能量、通信和计算资源并提升计算性能具有 重要意义。资源分配问题已在传统的移动边缘计算网络[5]‐ [10]以及依赖能量收集的移动边缘计算网络[11]‐[16]中得 到了广泛研究。最近，研究人员也致力于在无人机‐ enabled无线供能通信网络[17]‐[20]和无人机辅助的移动 边缘计算网络[21]‐[25]中设计资源分配与轨迹方案。这些 贡献总结如下。

在移动边缘计算网络中，通信资源和计算资源以及卸 载模式的选择被联合优化，以实现系统设计目标，例如用 户能耗最小化[5],[6],、收益最大化[7], 、最大成本最 小化[8],等。具体而言，在[5],中，通过联合优化用户发 射预编码矩阵和分配给每个用户的MEC服务器中央处理 器（CPU）频率，最小化了多小区移动边缘计算网络中所 有用户的总能耗。结果表明，联合优化所实现的性能优于 与分别优化通信和计算资源相比，联合优化通信和计算资 源具有更优的性能。文献[6]将能量最小化问题扩展到采 用时分多址（TDMA）和正交频分多址（OFDMA）的多 用户移动边缘计算系统中。研究证明，最优卸载策略具有 基于阈值的结构，该结构与信道状态信息（CSI）相关[6]。 具体而言，当信道条件较好时，移动用户会将其计算任务 进行计算卸载；否则，用户将选择本地执行计算任务。在 [7],中，通过联合设计计算卸载决策、资源分配和内容 缓存策略，最大化了带有移动边缘计算的无线蜂窝网络的 收益。文献[5]‐[7]主要关注单一目标的优化，这种做法 过分强调某一指标的重要性，可能无法在多个指标之间实 现良好的权衡。最近，文献[8]和[9]研究了移动边缘计 算网络中的公平性和多目标优化问题。结果表明，在移动 边缘计算系统中存在多种权衡关系，例如用户间的总计算 速率与公平性之间的权衡。不同于文献[5]‐[9], ，文献 [10]考虑了采用二进制计算卸载模式的移动边缘计算系统， 并设计了最优资源分配策略以最小化能耗。

在移动边缘计算系统中未考虑能量收集问题[5]‐[10]。 最近，文献[11]‐[16]研究了依赖能量收集的各种移动边 缘计算系统中的资源分配问题。在[11]和[12],中，采 用强化学习和李雅普诺夫优化理论设计了依赖传统能量收 集技术的移动边缘计算系统的资源分配方案。不同于[11] 和[12],，文献[13]‐[16]研究了无线供能的移动边缘计算 系统中的资源分配问题。具体而言，文献[13]提出了一种 能量高效的计算框架，其中本地计算和任务卸载所消耗的 能量来自采集的能量，通过联合优化CPU频率和模式选择 来最小化消耗的能量。在[14],中，将能量最小化问题扩 展到多输入单输出的无线供能移动边缘计算系统，并联合 优化了卸载时间、卸载比特数、CPU频率以及能量波束成 形。与[14],不同的是，在全双工无线供能移动边缘计算 系统中定义并最大化能量效率，通过联合优化传输功率、 卸载比特数、计算能耗、计算卸载和能量传输的时隙[15]。 与文献[13]‐[15],相比，在二进制计算卸载模式下，无线供 能移动边缘计算系统中的计算比特数被最大化[16]。提出 了两种基于交替方向法的次优算法来解决该组合规划问题。 所提出的算法实际上并未提供用户操作模式的最优选择方 案。

尽管无线电力传输已被用于提升移动边缘计算系统的计 算性能[13]‐[16],，但能量 通过WPT收集的能量会因严重的传播损耗而显著降低。 当能量发射器与能量收集用户之间的距离较大时，能量转 换效率较低。为应对这一挑战，文献[17]‐[20]提出了一 种无人机支持的无线供能架构，其中无人机向能量收集用 户传输能量。由于空对地能量收集链路具有较高的视距 （LoS）可能性，采用该架构可显著提高收集能量。此外， 研究表明，通过优化无人机轨迹可进一步提升收集能量 [18]‐[20]。因此，可以预见将无人机支持的架构应用于无 线供能的移动边缘计算系统具有良好的前景和研究价值 [26]。然而，据作者所知，目前针对该领域的研究仍然较 少。

最近，无人机支持的移动边缘计算系统已得到研究， 并提出了相应的资源分配方案[21]‐[25]。在[21],中首次 提出了无人机支持的移动边缘计算架构，并通过使用无人 机提高了计算性能。文献[22]提出了一种新的缓存无人 机框架，以帮助小小区卸载流量，结果表明，吞吐量可大 幅提高，同时无线回传的过载可显著降低。为了进一步提 升计算性能，文献[23]和[24]设计了一种资源分配方案， 联合优化CPU频率和无人机轨迹。在[25],中，应用了一 种博弈论方法来设计无人机支持的移动边缘计算系统的资 源分配方案，并证明了纳什均衡的存在性。

尽管资源分配问题在移动边缘计算系统[5]‐[10],、依 赖能量收集的移动边缘计算系统[11]‐[16]以及无人机支 持的移动边缘计算系统[21]‐[25],中已得到广泛研究，但 在无人机支持的无线供能MEC系统中设计资源分配方案 的研究仍较为有限。此外，上述工作中提出的资源分配方 案不适用于无人机支持的无线供能MEC系统，因为计算 性能不仅取决于能量、通信和计算资源的优化，还依赖于 无人机轨迹的设计。此外，将无人机应用于无线供能的移 动边缘计算系统有望提升用户的计算能力，因为它可以提 高能量转换效率和任务卸载效率[33],[34]。因此，为了提 升计算性能并为移动用户提供高质量的用户体验（QoE）， 研究无人机支持的无线供能MEC系统中的资源分配问题 具有重要意义和研究价值。然而，这些问题确实具有挑战 性，原因有两方面：一方面，不同变量之间存在耦合关系 （例如CPU频率、任务卸载时间以及与无人机轨迹相关的 变量），使得问题呈现非凸性；另一方面，当采用二进制 计算卸载模式时，资源分配问题 在无人机支持的无线供能MEC系统中，存在与选择本地 计算或卸载任务相关的二进制变量。这使得该问题成为一 个混合整数非凸优化问题。

B. 贡献与组织结构

与[5]‐[16],不同，本文研究了无人机支持的无线供 能MEC系统中的资源分配问题，其中无人机发送能量信 号为多个移动用户充电，并为其提供计算服务。尽管计算 性能受限于无人机的飞行时间，但研究无人机支持的无线 供能MEC系统仍然具有重要意义，因为这些系统在山区 和沙漠地区等缺乏地面无线基础设施的环境中，以及在因 自然灾害导致地面无线基础设施被破坏的环境中具有广阔 的应用前景[33],[34]。因此，本文在部分和二进制计算 卸载模式下，最大化所有用户的加权和计算比特。本工作 的主要贡献总结如下：

1. 这是首次在无人机支持的MEC无线供电系统中，针 对部分和二进制计算卸载模式建立资源分配框架。通过 联合优化用户的CPU频率、卸载时间和发射功率以及 无人机轨迹，最大化加权和计算比特。在部分计算卸载 模式下，提出了一种两阶段交替算法来求解非凸且具有 挑战性的计算比特最大化问题。对于任意给定的轨迹， 推导出了用户最优CPU频率、卸载时间和发射功率的 闭式表达式。
2. 在二进制计算卸载模式下，加权和计算比特最大化 问题是一个混合整数非凸优化问题，为此提出了一种三 阶段交替算法。对于给定的轨迹，推导出了用户选择本 地计算或卸载任务的最优选择方案的闭式表达式。该最 优选择方案的结构表明，用户选择本地计算或将任务卸 载至无人机进行计算，取决于可实现计算速率与运行成 本之间的权衡。此外，在部分计算卸载和二进制计算卸 载模式下，利用逐次凸逼近（SCA）方法对无人机轨迹 进行了优化。
3. 仿真结果表明，使用所提出的资源分配方案获得的 计算性能优于使用分离优化方案所达到的性能。此外， 所提出的交替算法仅需几次迭代即可收敛。进一步地， 仿真结果验证了用户的优先级与公平性可以得到改善 使用权重向量。此外，结果表明总计算比特随着用 户数量的增加而增加。

本文的其余部分组织如下。第二节给出系统模型。第 三节在部分计算卸载模式下提出了资源分配问题。第四节 在二进制计算卸载模式下提出了资源分配问题。第五节给 出了仿真结果。最后，第六节对本文进行了总结。

II. 系统模型

如图1所示，考虑了一个无人机支持的无线供能 MEC系统，其中射频能量发射器和MEC服务器均部署在 无人机上。该无人机向M用户传输能量，并为这些用户提 供移动边缘计算服务。每个用户均配备有能量收集电路， 可存储能量以供自身运行使用。无人机配备了机载通信电 路和机载计算处理器，每个用户也具备类似的配置。每个 用户的计算处理器是一种片上微处理器，具有低计算能力， 能够本地执行简单任务。而无人机则配备有强大处理器， 可执行计算密集型任务[21]‐[25]。类似于[13]‐[16],，每 个用户可以同时进行能量收集、本地计算和计算卸载，而 无人机则可同时进行能量传输和计算处理。本文中，所有 设备均配备单天线。

不失一般性，采用三维（3D）欧几里得坐标系。每 个用户的位置固定在地面上。第 m个地面用户的位置表示 为qm，其中qm =[xm , ym]、 m ∈ M和 M={1, 2, · · ·, M}。粗体小写字母表示向量，粗体大写 字母表示矩阵。 x m 和 ym 是第 m个地面用户的水平面坐 标。假设无人机已知用户位置，用于设计 轨迹[18]‐[20]。考虑一个持续时间为 T的有限时间范围。 在 T期间，无人机在同一高度层飞行，该高度层表示为 H(H> 0)。实际上，固定高度是适合工作地形的最低 高度，能够避免建筑物，且无需频繁地升降飞机。采用块 衰落信道模型，即在每个 T期间，信道保持静态。

为了便于阐述，将有限时间 T 离散化为 N 个相等 的时隙，表示为 n= 1, 2, · · ·, N。在第n个时隙，假设无 人机的水平面坐标为 qu[n]=[xu[n], yu[n]]。类似于[27]‐ [32],，假设无人机与每个用户之间的无线信道主要由视距 （LoS）主导。因此，无人机与第 m个用户之间的信道功 率增益，记为 hm[n]，可表示为

$$
hm[n]= \beta_0 d^{-2}_{m,n}= \frac{\beta_0}{H^2+ |qu[n] - qm|^2}, m \in M, n \in N, (1)
$$

其中， β0 是参考距离d0= 1 米处的信道功率增益；dm, n 表示无人机与第 m 个用户在第 n 个时隙的水平面距离， n ∈ N, N={1, 2, · · ·, N}； ∥·∥ 表示其欧几里得范数。无人机支持的无线供能MEC系统的详细内容将在下文分别针对 部分计算卸载和二进制计算卸载模式进行介绍。

A. 部分计算卸载模式

在部分计算卸载模式下，每个用户的计算任务可划分 为两部分，一部分用于本地计算，另一部分卸载到无人机。 本地计算和任务卸载所消耗的能量来自采集的能量。本文 中，为了对无人机支持的无线供能MEC系统的设计提供 有意义的见解，采用与[4],[13]‐[16],类似的线性能量采 集模型。因此，第 m个用户在 n个时隙期间采集的能量 Em[n]表示为

$$
Em[n]= \sum_{i=1}^{n} \frac{T \eta_0 h_m[i] P_0}{N}, m \in M, n \in N, (2)
$$

其中 η0表示能量转换效率， 0< η0 ≤1和 P0是无人机的 发射功率。在本文中，无人机采用恒定功率传输[18]‐[20]。 各用户在部分计算卸载模式下的操作细节如下所述。

1. 本地计算 ：与[14]‐[16],能量收集电路、通信电路 和计算单元均为独立部件类似，每个用户可以同时进行能 量采集、本地计算和计算卸载。设 C表示每个用户计算 一比特原始数据所需的CPU周期数。为了高效利用采集的 能量，每个用户采用动态电压和频率调节技术，从而通过 在每个时隙[14]‐[16]内调整CPU频率，自适应地控制本地 计算所消耗的能量。第 m个用户在时隙内的CPU频率为

$$
f_m[n]
$$

单位为每秒周期数。因此， 在 m个用户处 n个时隙内执行的总计算比特以及在 m 个用户处 n个时隙内消耗的总能量分别表示为

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{T f_m[k]}{N C} \quad \text{和} \quad \sum_{k=1}^{n} \frac{T \gamma_c f_m^3[k]}{N} [14]-[16],
$$

其中 γc是第 m个用户处理器芯片的有效电容系数， n ∈ N，m ∈ M。 注意， γc取决于第 m个用户的芯片架构。

2. 计算卸载 ：为了在卸载过程中避免用户之间的干扰， 采用如图2所示的TDMA协议。具体而言，每个时隙包含 三个阶段，即卸载阶段、计算阶段和下载阶段。在卸载阶 段， M用户在每个时隙中依次将其各自的计算任务进行 卸载。设 tm[n] × T/N(0 ≤ tm[n] ≤ 1)表示第 m个用户 在第 n个时隙将计算任务卸载到无人机的持续时间， n ∈ N, m ∈ M。类似于[16], ，第 m个用户需要卸载 的计算任务由原始数据和通信开销（如加密和包头）组成。 令 νmRm[n]表示第 m个用户在第 n个时隙卸载到无人机 的总比特数，其中 Rm[n]为需要在无人机上计算的原始 数据位数， νm表示卸载任务中包含的通信开销。因此， 有

$$
R_m[n] \leq \frac{B T t_m[n]}{\nu_m N} \log_2\left( 1+ \frac{h_m[n] P_m[n]}{\sigma^2_0}\right), n \in N, m \in M, (3)
$$

其中 B是通信带宽； Pm[n]是第 n个时隙第 m个用户 的发射功率， σ²₀表示第 m个用户的噪声功率。

在所有用户于第 n个时隙卸载其计算任务后，无人机 执行计算任务并将计算结果发送回所有用户。类似于[14]‐ [16],，由于无人机的计算能力远强于用户，且与计算结 果相关的比特数非常少，因此无人机的计算时间和下载时 间被忽略不计。由于所有用户的总卸载时间不超过一个时 隙的持续时间，因此有

$$
\sum_{m=1}^{M} t_m[n] \leq 1, n \in N. (4)
$$

由于本地计算和任务卸载所消耗的能量来自采集的能 量，因此应满足以下能量采集因果约束。

$$
\frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} [\gamma_c f_m^3[k]+ t_m[k] P_m[k]] \leq \eta_0 \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} h_m[k] P_0, n \in N, m \in M. (5)
$$

在部分计算卸载模式下，第 m个用户的总计算比特 Rm 为

$$
R_m= \sum_{n=1}^{N} \frac{T f_m[n]}{N C}+ \frac{B T t_m[n]}{\nu_m N} \log_2\left(1+ \frac{h_m[n] P_m[n]}{\sigma^2_0}\right), m \in M. (6)
$$

二进制计算卸载模式

在二进制计算卸载模式下，计算任务无法被分割。所 有用户都需要选择完全在本地计算任务或完全卸载任务。 这种情况在实际中广泛存在。例如，为了提高估计精度， 相关的原始数据样本需要被联合计算[10],[16]。令 M0 和 M1 分别表示选择进行本地计算的用户集合和选择进 行任务卸载的用户集合。因此， M= M0 ∪M1 和 M0 ∩M1= Θ，其中 Θ 表示空集。

1. 选择执行本地计算的用户 ： 在这种情况下， M0 中的用户利用所有收集到的能量来执行本地计算。因此， 第 i个用户的总计算速率，记为 RL i，可以表示为

$$
R^L_i= \sum_{n=1}^{N} \frac{T f_i[n]}{N C}, i \in M_0. (7)
$$

并且 M0 中用户的能量收集因果约束可以表示为

$$
\frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} \gamma_c f_i^3[k] \leq \eta_0 \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} h_i[k] P_0, n \in N, i \in M_i. (8)
$$

2. 选择执行任务卸载的用户 ：集合 M1中的每个用 户利用其采集的全部能量来执行任务卸载。在卸载过程中 采用时分多址协议以避免这些用户之间的干扰。由于在第 n个时隙中，集合 M1内所有用户的总卸载时间不能超过 时隙持续时间，因此有

$$
\sum_{j \in M_1} t_j[n] \leq 1, n \in N. (9)
$$

设 R O j 表示集合 M1 中第 j个用户的总计算速率。则有

$$
R^O_j = \sum_{n=1}^{N} \frac{B T t_j[n]}{\nu_j N} \log_2\left( 1+ \frac{h_j[n] P_j[n]}{\sigma^2_0}\right), j \in M_1. (10)
$$

M1中用户能量收集的因果约束可以表示为

$$
\frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} t_j[k] P_j[k] \leq \eta_0 \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} h_j[k] P_0, n \in N, j \in M_1. (11)
$$

第三和第四节将分别针对部分计算卸载和二进制计算卸载 模式建立计算速率最大化问题。

三、部分计算卸载模式下的资源分配

在本节中，研究了部分计算卸载模式下的资源分配问 题。通过联合优化用户的中央处理器频率、卸载时间、发 射功率以及无人机的轨迹，最大化加权和计算比特。为了 解决该非凸问题，提出了一种两阶段交替算法。

A. 资源分配问题建模

在部分计算卸载模式下，无人机支持的无线供能移动边 缘计算系统中的加权和计算比特最大化问题被表述为 P1,

$$
P1: \max_{f_m[n],P_m[n],q_u[n],t_m[n]} \sum_{m=1}^{M} w_m \times \left[\sum_{n=1}^{N} \frac{T f_m[n]}{N C} + \frac{B T t_m[n]}{\nu_m N} \log_2\left(1+ \frac{h_m[n] P_m[n]}{\sigma^2_0}\right)\right] (12a)
$$

s.t. C1: $ f_m[n] \geq 0, P_m[n] \geq 0, m \in M, n \in N, $ (12b)

C2:
$$
\frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} [\gamma_c f_m^3[k]+ t_m[k] P_m[k]] \leq \eta_0 \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} h_m[k] P_0, m \in M, n \in N, (12c)
$$

C3:
$$
\sum_{m=1}^{M} t_m[n] \leq 1, n \in N, (12d)
$$

C4:
$$
|q_u[n+1] - q_u[n]|^2 \leq V_{\text{max}} \frac{T}{N}, n \in N, (12e)
$$

C5:
$$
q_u[1]= q_0, q_u[N+ 1]= q_F, (12f)
$$

其中 Vmax表示无人机的最大速度，单位为米每秒；q0 和qF分别为无人机的初始和最终水平位置。在(12)中， wm表示第 m个用户的权重，用于考虑用户之间的优先级 和公平性； C1是每个用户的CPU频率约束和计算卸载功 率约束； C2表示能量采集因果约束； C3是时间约束， 即所有用户卸载计算比特的总时间不得超过每个时隙的持 续时间； C4和 C5分别是无人机的速度约束和初始与 最终水平位置约束。P1 是非凸的，因为变量之间存在非 线性耦合， fm[n]。 Pm[n]，qu[n]， tm[n]，且目标函数关于无人机轨迹是非 凹的。为了解决该问题，提出了一种两阶段交替优化算法。 该算法的细节如下所述。

B. 两阶段交替优化算法

对于给定的轨迹， zm[n]= tm[n] P_m[n], n ∈ N 可以转化 为 P1 到 P2。

$$
P2: \max_{f_m[n],z_m[n],t_m[n]} \sum_{m=1}^{M} w_m \times \left[\sum_{n=1}^{N} \frac{T f_m[n]}{N C} + \frac{B T t_m[n]}{\nu_m N} \log_2\left(1+ \frac{h_m[n] z_m[n]}{t_m[n] \sigma^2_0}\right)\right] (13a)
$$

s.t. C1, C3, (13b)

C5:
$$
\frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} [\gamma_c f_m^3[k]+ z_m[k]] \leq \eta_0 \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} h_m[k] P_0, m \in M, n \in N. (13c)
$$

容易证明P2是凸的，可以使用基于拉格朗日对偶方法 [35],进行求解，据此可推导出CPU频率和发射功率的最 优解。令 fopt m[n]和 P opt m[n]分别表示第 m个用户在第 n 个时隙的最优CPU频率和发射功率，其中 m ∈ M和 n ∈N。通过求解P2,，可陈述定理1如下。

定理1 ：对于给定的轨迹qu[n]，用户的最优CPU频率 和发射功率可分别表示为

$$
f^{\text{opt}} m[n]= \sqrt{ \frac{w_m}{3C\gamma_c} \sum {k=n}^{N} \lambda_{m,k} }, (14a)
$$

$$
P^{\text{opt}} m[n]= \begin{cases}
0, & \text{if } t_m[n]= 0, \
\left[ \frac{w_m B}{\nu_m \ln 2} \sum {k=n}^{N} \lambda_{m,k} - \frac{\sigma^2_0}{h_m[n]} \right]_+, & \text{otherwise},
\end{cases} (14b)
$$

其中λm,n ≥ 0是与约束 C2相关的对偶变量；[a] + = max(a, 0)和max(a, 0)表示 a和0中的较大值。

证明 : 见附录A。

备注1 ：从定理1可以看出，用户仅在用户与无人机之 间的信道状态信息强于某一阈值时才选择卸载其计算任务， 即 hm[n] ≥(σ²₀ νm ln2 ∑ λm,k k=n)/(wm B)。这表明当用 户与无人机之间的水平距离大于 β₀ wm B N − H²时，用 户选择进行本地计算。此外，σ²₀ νm ln 2 ∑ λm,k k=n 可以看出，权重越大，用户选择卸载其计算任务的可能性 就越高。此外，用户更倾向于卸载他们的计算任务 当本地计算频率非常大时，即fopt m[n] ≥ √ σ²₀ νm ln 2 / (3CγcBhm[n])。

定理2 : 如果存在一个时隙使得 fopt m[n]= 0，则方程 fopt m[k]= 0必须成立， 0 ≤ k ≤ n。

证明 ： 由于λm,n是对偶变量且λm,n ≥ 0，根据定理 1 fopt m[n] 随 n增加而增加。因此，若存在一个时隙 n使得 fopt m[n]= 0成立， 则必有 fopt m[k]= 0，对于 0 ≤ k ≤ n。定理2得证。

备注2 : 定理2 表明，用户的CPU频率随时间时隙索引 的增加而增加。这意味着通过本地计算获得的计算比特数 量随时间时隙索引的增加而增加。此外，由于更高权重的 用户被分配了更多资源，因此用户CPU频率随着分配给该 用户的权重的增加而增加。

定理3 ： 对于给定的轨迹 qu[n]，可通过求解以下方 程获得最优用户卸载时间。

$$
\log_2\left(1+ \frac{h_m[n] z_m[n]}{\sigma^2_0 t_m[n]}\right)- \frac{h_m[n] z_m[n]}{\ln 2 (\sigma^2_0 t_m[n]+ h_m[n] z_m[n])} - \frac{\nu_m N \alpha_n}{B T} = 0. (15)
$$

备注3 ： 定理3 可基于 定理1 的 证明 直接得证。因此， 此处省略该 证明 以节省篇幅。此外，(15) 可通过使用二 分法[35] 求解。

为了获得所有用户的最优CPU频率、最优发射功率和 最优卸载时间，需要知道对偶变量的值。可以使用引理1 中的次梯度方法来解决此问题[36]。

引理1 ： 用于获取对偶变量的次梯度方法如下所示

$$
\lambda_{m,n}(l+ 1)=[\lambda_{m,n}(l)- \theta(l)\Delta\lambda_{m,n}(l)]_+ , m \in M, n \in N (16a)
$$

$$
\alpha_n(l+ 1)=[\alpha_n(l)- \vartheta(l)\Delta\alpha_n(l)]_+ , n \in N, (16b)
$$

其中 l表示迭代索引； θ(l)和 ϑ(l)表示第 l次迭代的迭代步 长。(16)中，∆λm,n(l)和∆αn(l)是相应的次梯度，表达式如下

$$
\Delta\lambda_{m,n}(l)= \eta_0 \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} h_m[k] P_0 - \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} [\gamma_c(f^{l,\text{opt}}_m[k])^3 + z^{l,\text{opt}}_m[k]], (17a)
$$

$$
\Delta\alpha_n(l)= 1 - \sum_{m=1}^{M} t^{l,\text{opt}}_m[n], n \in N, (17b)
$$

其中 f^{l,\text{opt}}_m[n]、 z^{l,\text{opt}}_m[n]以及 t^{l,\text{opt}}_m[n]表示第 l次迭代 时的最优解。根据[35],，次梯度保证以非常小的误差范 围收敛到最优值。

C. 轨迹优化

对于任意给定的CPU频率、用户的发射功率和卸载时 间，轨迹优化问题可表述为P3。

$$
P3: \max_{q_u[n]} \sum_{m=1}^{M} w_m \times \left[ \sum_{n=1}^{N} \frac{B T t_m[n]}{\nu_m N} \log_2 \left(1+ \frac{\beta_0 P_m[n]}{\sigma^2_0(H^2+ |q
u[n] - q_m|^2)} \right) \right] (18a)
$$

s.t. C2:
$$
\frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} [\gamma_c f_m^3[k]+ t_m[k] P_m[k]] \leq \eta_0 \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} \frac{\beta_0 P_0}{H^2+ |q_u[k] - q_m|^2}, m \in M, n \in N (18b)
$$

C4和 C5. (18c)

由于 C2是非凸的，且目标函数关于qu[n]是非凹的，P3 是非凸问题，我们采用SCA技术来求解该优化问题。所获 得的解可保证满足P3[27]的Karush‐Kuhn‐Tucker (KKT) 条件。通过使用SCA技术，定理4表述如下。

定理4 : 对于第ȷ次迭代的任意局部轨迹qu,ȷ[n], n ∈N， 有

$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{P_0 \beta_0}{H^2+ |q_u[i] - q_m|^2} \geq P_0 \beta_0 h_m[n], (19a)
$$

$$
h_m[n]= \sum_{i=1}^{n} \left{ \frac{H^2+ 2|q_{u,\jmath}[i] - q_m|^2 - |q_u[i] - q_m|^2}{(H^2+ |q_{u,\jmath}[i] - q_m|^2)^2} \right} (19b)
$$

其中当qu[n]= qu,ȷ[n]时等式成立。

证明 ： 令 f(z) = a/(b+z)，其中 a和 b为正常数，且 z ≥ 0。由于 f(z)关于 z是凸的，因此可得到以下不等式：

$$
\frac{a}{b+ z} \geq \frac{a}{b+ z_0} - \frac{a}{(b+ z_0)^2}(z - z_0), (20)
$$

其中 z₀是一个给定的局部点。通过使用(20)，定理4得证。

为了解决P3 的目标函数，给出引理2如下。

引理2 : [27]使用SCA方法，可以得到以下不等式成立，

$$
\log_2 \left(1+ \frac{\beta_0 P_m[n]}{\sigma^2_0(H^2+ |q_u[n] - q_m|^2)} \right) \geq y_{m,\jmath}({q_u[n]}), (21a)
$$

$$
y_{m,\jmath}({q_u[n]})= \log_2 \left(1+ \frac{\beta_0 P_m[n]}{\sigma^2_0(H^2+ |q_{u,\jmath}[n] - q_m|^2)} \right) - \frac{\beta_0 P_m[n] \log_2 e}{(\sigma^2_0 H^2+ \beta_0 P_m[n]+ \sigma^2_0 |q_{u,\jmath}[n]|^2)(H^2+ |q_{u,\jmath}[n]|^2)} \times (|q_u[n]|^2 - |q_{u,\jmath}[n]|^2), (21b)
$$

其中等式在qu[n]= qu,ȷ[n]时成立。

利用定理4和引理2，P3可以通过迭代求解近似问题 P4,来解决

$$
P4: \max_{q_u[n]} \sum_{m=1}^{M} w_m \left[ \sum_{n=1}^{N} \frac{B T t_m[n]}{\nu_m N} y_{m,\jmath}({q_u[n]}) \right] (22a)
$$

s.t. C4和 C5, (22b)

$$
\sum_{k=1}^{n} [\gamma_c f_m^3[k]+ t_m[k] P_m[k]] \leq \eta_0 P_0 \beta_0 h_m[n], m \in M, n \in N. (22c)
$$

可以看出，P4 是凸的，可以使用CVX[4]轻松求解。通过求 解 P2 和 P4 的双阶段交替方法 进一步开发了称为算法1的优化算法来求解P1。算法1的详 细信息见表I。在表I中， Ri表示P1的目标函数在第 i次 迭代时的值。

四、二进制计算卸载模式下的资源分配

本节研究在二进制计算卸载模式下，无人机辅助的无 线供能移动边缘计算系统中的加权和计算比特最大化问题。 联合优化选择执行本地计算的用户的CPU频率、卸载时间、 选择执行任务卸载的用户的发射功率、无人机轨迹以及模 式选择，以最大化所有用户的加权和计算比特。所建模的 问题是一个混合整数非凸优化问题，为此提出了一种三阶 段交替优化方法。

A. 资源分配问题建模

在二进制计算卸载模式下，考虑能量采集因果约束、 无人机速度和位置约束的加权和计算比特最大化问题被建 模为P5,

$$
P5: \max_{f_i[n],P_j[n],q[n], t_j[n],M_0,M_1} \sum_{i \in M_0} \sum_{n=1}^{N} w_i \frac{f_i[n] T}{C N} + \sum_{j \in M_1} w_j \frac{B T}{\nu_j N} \sum_{n=1}^{N} t_j[n] \log_2\left(1+ \frac{h_j[n] P_j[n]}{\sigma^2_0}\right) (23a)
$$

s.t.
$$
\frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} \gamma_c f_i^3[k] \leq \eta_0 \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} h_i[k] P_0, n \in N, i \in M_0, (23b)
$$

$$
\frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} t_j[k] P_j[k] \leq \eta_0 \frac{T}{N} \sum_{k=1}^{n} h_j[k] P_0, n \in N, j \in M_1, (23c)
$$

$$
\sum_{j \in M_1} t_j[n] \leq 1, n \in N, (23d)
$$

$$
M= M_0 \cup M_1, M_0 \cap M_1= \Theta, (23e)
$$

$$
f_i[n] \geq 0, P_j[n] \geq 0, i \in M_0, j \in M_1, (23f)
$$

C4 and C5. (23g)

(23b) 和 (23c) 分别是对选择执行本地计算的用户以及选 择执行任务卸载的用户施加的能量采集因果约束；(23d) 是每个时隙期间的卸载时间约束，(23e) 是用户操作选择 约束。在问题 P5 中，不同的优化变量之间存在紧密耦合。 此外，二进制用户操作模式选择使得 P5 成为一个混合整 数规划问题。穷举搜索方法将导致过高的计算复杂度，尤 其是在用户数量较多的情况下。受求解 P1 方法的启发， P5 在用户操作模式确定后具有与 P1 类似的结构 由此可以确定。因此，用户最优CPU频率、发射功率和卸 载时间可通过与求解P1相同的方法获得，无人机的轨迹 优化也可通过SCA方法实现。基于两阶段算法1，提出了 一种三阶段交替优化算法。该算法的具体细节如下所述。

B. 三阶段交替优化算法

为了高效求解P5,，引入一个由 ρm表示的二进制 变量，其中 ρm ∈{0, 1}和 m ∈ M。ρm= 0表示第 m个用户执行本地计算模式，而 ρm= 1表示第 m个用 户执行任务卸载。此外，用户操作选择指示变量 ρm被松 弛为一个共享因子 ρm ∈[0, 1]。因此，P5可以重写为

$$
P6: \max_{f_m[n],P_n[n],q[n], t_m[n],\rho_m} \sum_{m=1}^{M} \sum_{n=1}^{N} w_m \left{ (1 - \rho_m) \frac{f_m[n] T}{C N} + \frac{B t_m[n] \rho_m}{\nu_m N} \log_2\left(1+ \frac{h_m[n] P_m[n]}{\sigma^2_0}\right) \right} (24a)
$$

s.t.
$$
(1 - \rho_m) \sum_{k=1}^{n} \gamma_c f_m^3[k]+ \rho_m \sum_{k=1}^{n} t_m[k] P_m[k] \leq \eta_0 \sum_{k=1}^{n} h_m[k] P_0, m \in M, (24b)
$$

$$
\sum_{m=1}^{M} \rho_m t_m[n] \leq 1, n \in N, (24c)
$$

$$
f_m[n] \geq 0, P_m[n] \geq 0, n \in N, m \in M, (24d)
$$

C4 和 C5. (24e)

即使通过放宽二进制变量 ρm，P6仍然难以求解，因为不 同变量之间存在耦合。对于任意给定的 ρm和无人机轨 迹，P6具有与P1相似的结构。因此，采用与处理P1,相 同的技术，可以获得在给定 ρm和无人机轨迹下的用户最 优CPU频率、发射功率和卸载时间。容易验证，对于给定 轨迹，用户的最优CPU频率、发射功率和卸载时间具有定 理1和定理3中给出的相同形式。

定理5 ： 对于任意给定的 fm[n]、 Pm[n]、 tm[n]和qu[n]，可通过以下方式获得用户操作选择方案

$$
\rho^{\text{opt}}_m = \begin{cases}
0 & \text{if } G_1 \geq G_2, \
1 & \text{otherwise};
\end{cases} (25a)
$$

$$
G_1 = \sum_{n=1}^{N} \left{ \frac{w_m f_m[n]}{C} - \upsilon_{m,n} \sum_{k=1}^{n} \gamma_c f_m^3[k] \right}, (25b)
$$

$$
G_2 = \sum_{n=1}^{N} \left{ \frac{B t_m[n]}{\nu_m} \log_2\left( 1+ \frac{h_m[n] P_m[n]}{\sigma^2_0} \right) - \upsilon_{m,n} \sum_{k=1}^{n} t_m[k] P_m[k] - \frac{N T \varepsilon_n t_m[n]}{} \right}, (25c)
$$

其中υm,n ≥ 0和 εn ≥ 0分别是与(24b)和(24c)给出的约束相 关联的对偶变量。

证明 ： 见附录B。

备注4 : 定理5 表明，用户操作选择方案取决于可实现 的计算速率与运行成本之间的权衡。如果用户通过本地计 算获得的权衡优于通过任务卸载获得的权衡，则该用户选 择执行本地计算；否则，用户选择将其计算任务卸载至无 人机进行计算。

最后，通过求解P7,，可以得到任意给定 ρm、 fm[n]、 Pm[n]和 tm[n]的轨迹优化结果

$$
P7: \max_{q_u[n]} \sum_{m=1}^{M} w_m \rho_m \left[ \sum_{n=1}^{N} \frac{B T t_m[n]}{\nu_m N} y_{m,\jmath}({q_u[n]}) \right] (26a)
$$

s.t. C4 and C5, (26b)

$$
(1 - \rho_m) \sum_{k=1}^{n} \gamma_c f_m^3[k]+ \rho_m \sum_{k=1}^{n} t_m[k] P_m[k] \leq \eta_0 P_0 \beta_0 h_m[n], m \in M, n \in N, (26c)
$$

其中， hm[n]和 yj（{qu[n]}）分别由(19b)和(21b)给出。 P7是凸的，可利用CVX[4]高效求解。基于定理1、定理 5以及P7,的解，提出了一种三阶段交替优化算法，记为 算法2，用于求解P5。算法2的详细步骤见表2。在表2中， Rl和Ri分别表示P5的目标函数在第 l次和第 i次迭代 时的取值。

C. 复杂度分析

算法1的复杂度来自四个方面。第一个方面来自 CPU频率和卸载功率的计算。第二个方面来自用于获得卸 载时间的二分法。第三个方面来自用于计算对偶变量的次 梯度方法。第四个方面来自使用CVX求解P4。设 L1和 L2分别表示算法1外循环和内循环所需的迭代次数。设 ℓ1和 ℓ2分别表示二分法和次梯度方法的容差误差。因 此，根据[35],[38]和[39],中的工作，算法1的总复杂度 为O[L1(2MN+ Mlog₂(ℓ₁/T)+ 1/ℓ₂ + L₂N³)]和 O(·) 是大O符号[35]。

算法2的复杂度来源于五个方面。其中四个方面与算 法1相同。第五个方面来自于操作选择指示变量 ρm的计算。 设 L1、 L2和 L3分别表示算法2的第一循环、第二循环 和第三循环所需的迭代次数。类似于对算法1的复杂度分 析，算法2的总复杂度为O[L₁L₂(2MN+ M+ Mlog₂( ℓ₁/T)+ 1/ℓ₂² + L₃N³)]。

V. 仿真结果

在本节中，通过仿真结果对比了所提出的方案与其它 基准方案的性能，并评估了提出算法的收敛性能。仿真设 置基于文献[7],[14],[16]和[23]中的工作。用户位置 设置为：q₁=[0, 0]，q₂=[0, 10]，q₃=[10, 10]，q₄=[10, 0]。详细设置见表III。每个用户的权重向量 [w₁ w₂ w₃ w₄]设置为[0.1 0.4 0.3 0.2]。

图3显示了在 T= 2秒内不同方案下的无人机轨迹。 无人机发射功率设置为P₀ = 0.1 W。在恒定速度场景中， 无人机以恒定速度从初始位置直线飞向最终位置。在半圆 场景中，无人机沿一条半圆轨迹飞行，其直径为∥qF −q₀ ∥。 部分计算卸载模式的卸载模式轨迹通过算法1获得，二进 制计算卸载模式的二进制模式轨迹通过算法2获得。从我 们所提方案的轨迹可以看出，无论何种情况，无人机始终 靠近用户2和用户3。 操作模式。原因是用户2和用户3的权重大于用户1和用户 4的权重。因此，无人机需要飞近用户2和用户3，以便向 他们提供更多的能量。这表明，通过使用权重向量可以获 得用户之间的优先级和公平性。

图4展示了在不同方案下所有用户的加权和计算比特 随无人机的发射功率的变化情况。最优本地计算是指所有 用户仅进行本地计算的模式，而最优卸载模式是指所有用 户仅进行任务卸载的模式。在这两种基准方案下，无人机 的轨迹是联合优化的。二进制模式和部分卸载模式下的结 果分别通过算法2和算法1获得。在图4中，部分卸载模式 下实现的加权和计算比特在所有方案中最大。其原因是， 在部分计算卸载模式下，所有用户能够根据信道状态信息 的质量动态选择操作模式。此外，最优卸载模式优于最优 本地计算。 这一结果与在[13]中获得的结果一致。此外，所有用户的 加权和计算比特随着无人机发射功率的增加而增加。其原 因在于，收集能量随着无人机的发射功率增加而增加，因 此用户拥有更多能量来进行本地计算或任务卸载。

图5显示了在部分计算卸载模式和二进制计算卸载模 式下，不同轨迹中所有用户的加权和计算比特随无人机的 发射功率的变化情况。如图5所示，无论采用何种操作模 式，使用我们所提出方案获得的所有用户的加权和计算比 特均大于采用恒定速度轨迹和半圆轨迹所获得的结果。这 表明对无人机轨迹的优化能够提升加权和计算比特，同时 也验证了我们提出的资源分配方案优于分离优化方案。

图6显示了不同操作模式下每个用户的总计算比特。 无人机的发射功率设置为 P₀= 0.1 W。用户2和用户3的 总计算比特高于用户1和用户4，原因是用户2和用户3的权 重大于用户1和用户4的权重。因此，资源分配方案应考虑 用户2和用户3的优先级。这进一步验证了权重向量的应用 可以提高用户的优先级以及公平性。

图7用于验证我们提出的算法1和算法2的效率。无人 机的发射功率设定为0.1 W或0.2 W。结果表明，算法1和 算法2仅需几次迭代即可收敛。这说明所提出的算法1和算 法2具有计算高效性，并且具备快速收敛速率。还可以看 出，在部分计算卸载模式下，所有用户实现的加权和计算 比特高于所获得的 在二进制计算卸载模式下，用户只能进行本地计算或任务 卸载，即使信道状态信息较强也是如此。而在部分计算卸 载模式下，当信道状态信息较强时，用户可以同时进行本 地计算和任务卸载。通过根据信道状态信息对操作模式进 行灵活选择，计算性能得以提升。

图8显示了所有用户的加权和计算比特 在不同操作模式下，加权和计算比特随用户数量的变化情 况。无人机的发射功率设置为 P₀= 0.2 W或P₀= 0.4 W。在图8中，所有用户的加权和计算比特随着用户数量 的增加而增加。其原因是更多的用户可以利用收集能量进 行本地计算和计算卸载。同时还可以观察到，随着用户数 量的增加，增长速率逐渐减小。其原因是由于总卸载时间 受限于 T，每个用户分配到的卸载时间随着用户数量的增 加而减少。

表IV用于评估下一页顶部所示的算法1和算法2的运行时 间。运行时间是通过使用配备64位Intel(R) Core(TM) i7‐4790 CPU、8 GB内存的计算机获得的。从表IV我们 可以看出，算法1所需的运行时间小于算法2。这表明算法 1的复杂度低于算法2。这一点可通过第四节C小节中给出 的复杂度分析加以验证。此外，时隙数量对运行时间的影 响大于用户数量的影响。原因是这两个算法的复杂度主要 取决于时隙数量。这一点同样可以通过复杂度分析得到验 证。

六、结论

针对无人机支持的无线供能移动边缘计算系统，在部 分和二进制计算卸载模式下研究了资源分配问题。通过联 合优化CPU频率、用户卸载时间、用户发射功率以及无人 机轨迹，最大化用户的加权和计算速率。提出了两种交替 算法来解决这些具有挑战性的问题，并推导出最优CPU频 率、用户卸载时间和用户发射功率的闭式表达式。此外， 针对二进制计算卸载模式，提出了用户选择本地计算或卸 载任务的最优选择方案。结果表明，与采用分离优化方案 相比，使用所提出的资源分配方案可实现更优的性能。仿 真结果也验证了所提出的交替算法的有效性以及理论分析 的正确性。

本文研究了利用无人机提高能量转换效率和计算性能 的方法。然而，计算性能也受到无人机飞行时间的限制。 探索多天线技术来应对这一挑战是很有意义的。这将在我 们的未来工作中进行研究。