C++ 二维前缀和算法模板与解析

题目分析

给定一个 n 行 m 列的矩阵，以及若干次查询，每次查询给出两个坐标，要求计算这两个坐标所围成的子矩阵的元素之和。

暴力解法

直接模拟求和，每次询问的时间复杂度为 O(mn)，总复杂度为 O(qm*n)。

前缀和优化

通过预处理前缀和矩阵，可以将单次查询的时间复杂度降低至 O(1)。

核心思想是利用容斥原理：目标区域面积 = 大矩形面积 - 多余部分面积。

使用前缀和公式计算任意子矩阵和： Sum(x1, y1, x2, y2) = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1]

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    // 1. 读入数据
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1));
    for ( i = ; i <= n; i++) {
         ( j = ; j <= m; j++) {
            cin >> arr[i][j];
        }
    }

    
    vector<vector< >> (n + , < >(m + ));
     ( i = ; i <= n; i++) {
         ( j = ; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - ][j] + dp[i][j - ] - dp[i - ][j - ] + arr[i][j];
        }
    }

    
     (q--) {
         x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - ][y2] - dp[x2][y1 - ] + dp[x1 - ][y1 - ] << endl;
    }
     ;
}