【优选算法必刷100题】第031~32题（前缀和算法）：连续数组、矩阵区域和

Ne0inhk

16 Mar 2026 — 9 min read

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031 连续数组

力扣链接：525. 连续数组

力扣题解链接：前缀和 + 哈希表解决【连续数组】问题

题目描述：

1.1 解法一：暴力解法

暴力解法就是枚举所有的子数组，然后判断子数组是否满足要求，这里不再赘述。

1.2 解法二：前缀和在哈希表中

其实这里稍微转化一下题目，就会变成我们熟悉的题——

（1）本题让我们找出一段连续的区间，和出现的次数相同；

（2）如果将0记为-1，1记为1，问题就变成了找出一段区间，这段区间的和等于0；

（3）于是，这道题就和560.和为K的子数组的思路一样了。

设 i 为数组中的任意位置，用sum[ i ]表示[0 , 1]区间中的所有元素的和。

想知道最大的【以为结尾的和为的子数组】，就要找到从左往右第一个x1使得[x1 , i]区间内的所有元素的和为0。那么[0 , x1 - 1]区间内的和是不是就是sum[i]了。于是这个问题就变成了——

找到在[0 , i - 1]区间内，第一次出现sum[ i ]的位置即可。

我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，第一个前缀和等于sum[ i ]的位置。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边记录第一次出现该前缀和的位置。

1.3 算法实现

1.3.1 C++实现

class Solution { public: int findMaxLength(vector<int>& nums) { unordered_map <int,int> hash; // 创建哈希，统计前缀和出现的次数 hash[0] = -1; // 本题存的是下标，默认有一个前缀和为0的情况 // 用变量来标记一下，不用真的创建一个前缀和数组 int sum = 0,ret = 0; // ret标记最终长度 // for(auto x : nums) // 不能用这个万能for，这里是访问下标 for(int i = 0;i < nums.size();++i) { // 计算当前位置的前缀和 sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1; // 三目表达式判断一下，是0就-1 if(hash.count(sum)) // 存在：如果找到sum，说明此时hash[sum]里面存了前面那个的下标 ret = max(ret,i - hash[sum]); // 更新长度，i - j即可,j就是hash[sum] // 前面其实相当于判断过了，这里只要一个else就行 else hash[sum] = i; } return ret; } };

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)。

1.3.2 Java实现

class Solution { public int findMaxLength(int[] nums) { Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>(); hash.put(0, -1); // 默认存在⼀个前缀和为 0 的情况 int sum = 0, ret = 0; for (int i = 0; i < nums.length; i++) { sum += (nums[i] == 0 ? -1 : 1); // 计算当前位置的前缀和 if (hash.containsKey(sum)) ret = Math.max(ret, i - hash.get(sum)); else hash.put(sum, i); } return ret; } }

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)。

1.4 博主手记

本题整个的思路、算法原理、解题过程博主在纸上推导了一遍，大家可以参考一下手记的推导过程！最好做题的过程中自己也推导一遍！！！自己能够推导很重要！

032 矩阵区域和

力扣链接：1314. 矩阵区域和

力扣题解链接：二维前缀和解决【矩阵前缀和】问题

题目描述：

2.1 算法思路：二维前缀和

二维前缀和的简单应用题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的【左上
角】以及【右下角】的坐标（这里艾莉丝推荐uu们画图，一目了然）——

（1）左上角坐标：x1 = i - k，y1 = j - k，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对0取一个max。因此修正后的坐标为：x1 = max(0，i - k)，y1 = max(0，j - k)；

（2）右下角坐标：x1 = i + k，y1 = j + k，但是由于会【超过矩阵】的范围，因此需要对m - 1，以及n - 1取一个min。因此修正后的坐标为：x2 = min(m - 1 , i + k)，y2 = min(n - 1 , j + k)。

然后我们将求出来的坐标代入到【二维前缀和矩阵】的计算公式上即可，但是要注意下标的映射关
系，这是本题的一个细节问题，在【博主手记】里面艾莉丝举了几个例子，大家可以看看。

2.2 算法实现

2.2.1 C++实现

class Solution { public: vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) { // 二维前缀和 int m = mat.size(),n = mat[0].size(); // 行和列 // 1、预处理一个前缀和矩阵 vector<vector<int>> dp(m + 1,vector<int>(n + 1)); // m + 1行n + 1列，方便处理边界情况 // 填写矩阵 for(int i = 1;i <= m;i++) for(int j = 1;j <= n;j++) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1]; // mat这里统一是修改后的下标，要-1，-1就是为了处理下标的隐射关系 // 2、使用前缀和矩阵 vector<vector<int>> ret(m,vector<int>(n)); // 跟原始矩阵同等规模 for(int i = 0;i < m;i++) for(int j = 0;j < n;j++) { int x1 = max(0,i - k) + 1,y1 = max(0,j - k) + 1; // +1就是为了在dp表里面直接可以找到 int x2 = min(m - 1,i + k) + 1,y2 = min(n - 1,j + k) + 1; // 结果 ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]; } return ret; } };

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)。

2.2.2 Java实现

class Solution { public int[][] matrixBlockSum(int[][] mat, int k) { int m = mat.length, n = mat[0].length; // 1、预处理前缀和矩阵 int[][] dp = new int[m + 1][n + 1]; for (int i = 1; i <= m; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1]; // 2、使⽤ int[][] ret = new int[m][n]; for (int i = 0; i < m; i++) for (int j = 0; j < n; j++) { int x1 = Math.max(0, i - k) + 1, y1 = Math.max(0, j - k) + 1; int x2 = Math.min(m - 1, i + k) + 1, y2 = Math.min(n - 1, j + k) + 1; ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]; } return ret; } }