跳到主要内容 二叉搜索树：概念、性能与实现 | 极客日志
C++ 算法
二叉搜索树：概念、性能与实现 二叉搜索树（Binary Search Tree）的概念、性能分析及 C++ 实现。内容涵盖 BST 的定义与性质，分析了其在不同形态下的时间复杂度（最优 O(logN)，最差 O(N)）。重点讲解了 BST 的核心操作：插入、查找、删除及中序遍历的实现逻辑，包括迭代与递归两种方式。此外，还讨论了 BST 在 Key-only（如 set）和 Key-Value（如 map）场景下的应用差异，并提供了完整的 C++ 代码示例，包括构造函数、拷贝构造、赋值重载及析构函数的实现。
疯疯癫癫 发布于 2026/3/26 更新于 2026/4/18 1.二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称搜索二叉树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：
若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。它的左右子树也分别为二叉搜索树。
二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，map/set/multimap/multiset 系列容器底层就是二叉搜索树，其中 map/set 不支持插入相等值，multimap/multiset 支持插入相等值。
2.二叉搜索树的性能分析
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其高度为：O(logN) 最差情况下，二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其高度为：O(N) 所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，所以有了二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树。
平衡二叉搜索树：AVL 树和红黑树 平衡多叉搜索树：B 树系列（B+ 树…）
它们适用于我们在内存中存储和搜索数据，另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。
这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。
3.二叉搜索树的实现
1.二叉搜索树的结构
准备树的节点（存放两个自己类型的指针找到左右孩子 + 保存某个类型的数据）
准备二叉搜索树：存放根节点。
这里实现的是不能含有重复的数据。
namespace xzy {
template <class K >
struct BSNode {
BSNode<K>* _left;
BSNode<K>* _right;
K _key;
BSNode (const K& key = K ()) : _left(nullptr ), _right(nullptr ), _key(key) {}
};
template <class K >
class BSTree {
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public
using
private
nullptr
2.二叉搜索树的插入
树为空：则直接新增结点，赋值给 root 指针。树不空：按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）
bool Insert (const K& key) if (_root == nullptr ) {
_root = new Node (key);
return true ;
}
Node* parent = nullptr ;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
return false ;
}
}
Node* newnode = new Node (key);
if (parent->_key > key) {
parent->_left = newnode;
} else if (parent->_key < key) {
parent->_right = newnode;
}
return true ;
}
public :
void Insert (const K& key) private :
Node* _Insert(Node* root, const K& key) {
if (root == nullptr ) return new Node (key);
if (root->_key < key) root->_right = _Insert(root->_right, key);
else if (root->_key > key) root->_left = _Insert(root->_left, key);
return root;
}
3.二叉搜索树的查找
从根开始比较，查找 x，x 比根的值大则往右边走查找，x 比根值小则往左边走查找。最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。如果不支持插入相等的值，找到 x 即可返回。如果支持插入相等的值，意味着有多个 x 存在，一般要求查找中序的第一个 x。如下图，查找 3，要找到 1 的右孩子的那个 3 返回。
bool Find (const K& key) while (cur) {
if (cur->_key < key) {
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
cur = cur->_left;
} else {
return true ;
}
}
return false ;
}
public :
bool Find (const K& key) return _Find(_root, key); }
private :
bool _Find(Node* _root, const K& key) {
if (_root == nullptr ) return false ;
bool ret1 = false ;
bool ret2 = false ;
if (_root->_key == key) {
return true ;
} else if (_root->_key < key) {
ret1 = Find (_root->_right, key);
} else {
ret2 = Find (_root->_left, key);
}
return ret1 || ret2;
}
4.二叉搜索树的删除 首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回 false。如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：
要删除结点 N 左右孩子均为空。要删除的结点 N 左孩子为空，右孩子结点不为空。要删除的结点 N 右孩子为空，左孩子结点不为空。要删除的结点 N 左右孩子结点均不为空。
把 N 结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除 N 结点（情况 1 可以当成情况 2 或者情况 3 处理，效果是一样的）
把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的右孩子，直接删除 N 结点。
把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的左孩子，直接删除 N 结点。
无法直接删除 N 结点，因为 N 的两个孩子无处安放，可以用替换法删除。找 N 左子树的值最大结点 R（最右节点）或者 N 右子树的值最小结点 R（最左节点）替代 N，因为这两个结点中任意一个，放到 N 的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代 N 的意思就是 N 和 R 的两个结点的值交换，转而变成删除 R 结点，R 结点又符合情况 2 或情况 3，可以直接删除。
bool Erase (const K& key) nullptr ;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
if (cur->_left == nullptr ) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_right;
} else {
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr ) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_left;
} else {
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else {
Node* replace = cur->_left;
Node* replaceParent = cur;
while (replace->_right) {
replaceParent = replace;
replace = replace->_right;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace) {
replaceParent->_left = replace->_left;
} else {
replaceParent->_right = replace->_left;
}
delete replace;
}
return true ;
}
}
return false ;
}
5.二叉搜索树的中序遍历
由于二叉搜索树的性质，左子树小于根，根又小于右子树，那么它的中序遍历就可以得到一个有序的数据
但是由于要传入根节点，而外面是访问不到根节点的，可以封装另一个接口，如下：
public :
void InOrder () private :
void _InOrder(Node* _root) {
if (_root == nullptr ) return ;
_InOrder(_root->_left);
cout << _root->_key << " " ;
_InOrder(_root->_right);
}
int main () int > v = {8 , 3 , 1 , 10 , 6 , 4 , 7 , 14 , 13 };
xzy::BSTree<int > t;
for (auto & e : v) {
t.Insert (e);
}
t.InOrder ();
return 0 ;
}
6.默认构造
7.拷贝构造 public :
BSTree (const BSTree& t) { _root = Copy (t._root); }
private :
Node* Copy (Node* root) {
if (root == nullptr ) return nullptr ;
Node* newRoot = new Node (root->_key);
newRoot->_left = Copy (root->_left);
newRoot->_right = Copy (root->_right);
return newRoot;
}
8.赋值重载 BSTree& operator =(BSTree tmp) {
swap (_root, tmp._root);
return *this ;
}
9.析构函数 public :
~BSTree () { Destory (_root); }
private :
void Destory (Node* _root) if (_root == nullptr ) return ;
Destory (_root->_left);
Destory (_root->_right);
delete _root;
}
4.二叉搜索树 key 和 key/value 使用场景
1.key 搜索场景（set 容器） 只有 key 作为关键码，结构中只需要存储 key 即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key 在不在。key 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改 key 破坏搜索树结构了。
场景 1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景 2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
2.key/value 搜索场景（map 容器） 每一个关键码 key，都有与之对应的值 value，value 可以任意类型对象。树的结构中（结点）除了需要存储 key 还要存储对应的 value，增/删/查还是以 key 为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到 key 对应的 value。key/value 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改 key，修改 key 破坏搜索树结构了，可以修改 value。
场景 1：简单中英互译字典，树的结构中（结点）存储 key（英文）和 vlaue（中文），搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景 2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景 3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
5.key 二叉搜索树代码 namespace key {
template <class K >
struct BSNode {
BSNode<K>* _left;
BSNode<K>* _right;
K _key;
BSNode (const K& key = K ()) : _left(nullptr ), _right(nullptr ), _key(key) {}
};
template <class K >
class BSTree {
public :
using Node = BSNode<K>;
bool Insert (const K& key) if (_root == nullptr ) {
_root = new Node (key);
return true ;
}
Node* parent = nullptr ;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
return false ;
}
}
Node* newnode = new Node (key);
if (parent->_key > key) {
parent->_left = newnode;
} else if (parent->_key < key) {
parent->_right = newnode;
}
return true ;
}
bool Find (const K& key) while (cur) {
if (cur->_key < key) {
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
cur = cur->_left;
} else {
return true ;
}
}
return false ;
}
bool Erase (const K& key) nullptr ;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
if (cur->_left == nullptr ) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_right;
} else {
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr ) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_left;
} else {
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else {
Node* replace = cur->_left;
Node* replaceParent = cur;
while (replace->_right) {
replaceParent = replace;
replace = replace->_right;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace) {
replaceParent->_left = replace->_left;
} else {
replaceParent->_right = replace->_left;
}
delete replace;
}
return true ;
}
}
return false ;
}
void InOrder () private :
void _InOrder(Node* _root) {
if (_root == nullptr ) return ;
_InOrder(_root->_left);
cout << _root->_key << " " ;
_InOrder(_root->_right);
}
private :
Node* _root = nullptr ;
};
}
int main () int > v = {8 , 3 , 1 , 10 , 6 , 4 , 7 , 14 , 13 };
key::BSTree<int > t;
for (auto & e : v) {
t.Insert (e);
}
for (auto & e : v) {
t.Erase (e);
t.InOrder ();
}
return 0 ;
}
6.key/value 二叉搜索树代码 namespace key_value {
template <class K , class V >
struct BSNode {
BSNode<K, V>* _left;
BSNode<K, V>* _right;
K _key;
V _value;
BSNode (const K& key = K (), const V& value = V ()) : _left(nullptr ), _right(nullptr ), _key(key), _value(value) {}
};
template <class K , class V >
class BSTree {
public :
using Node = BSNode<K, V>;
bool Insert (const K& key, const V& value) if (_root == nullptr ) {
_root = new Node (key, value);
return true ;
}
Node* parent = nullptr ;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
return false ;
}
}
Node* newnode = new Node (key, value);
if (parent->_key > key) {
parent->_left = newnode;
} else if (parent->_key < key) {
parent->_right = newnode;
}
return true ;
}
Node* Find (const K& key) {
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
cur = cur->_right;
} else if (cur->_key > key) {
cur = cur->_left;
} else {
return cur;
}
}
return nullptr ;
}
bool Erase (const K& key) nullptr ;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
} else if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
} else {
if (cur->_left == nullptr ) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_right;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_right;
} else {
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr ) {
if (cur == _root) {
_root = cur->_left;
} else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_left;
} else {
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else {
Node* replace = cur->_left;
Node* replaceParent = cur;
while (replace->_right) {
replaceParent = replace;
replace = replace->_right;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace) {
replaceParent->_left = replace->_left;
} else {
replaceParent->_right = replace->_left;
}
delete replace;
}
return true ;
}
}
return false ;
}
void InOrder () private :
void _InOrder(Node* _root) {
if (_root == nullptr ) return ;
_InOrder(_root->_left);
cout << _root->_key << " " << _root->_value << endl;
_InOrder(_root->_right);
}
private :
Node* _root = nullptr ;
};
}
int test01 () Insert ("left" , "左边" );
dict.Insert ("right" , "右边" );
dict.Insert ("insert" , "插入" );
dict.Insert ("string" , "字符串" );
string str;
while (cin >> str) {
auto ret = dict.Find (str);
if (ret) {
cout << "->" << ret->_value << endl;
} else {
cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
}
}
return 0 ;
}
int test02 () "苹果" , "西瓜" , "苹果" , "西瓜" , "苹果" , "苹果" , "西瓜" , "苹果" , "香蕉" , "苹果" , "香蕉" };
key_value::BSTree<string, int > countTree;
for (const auto & str : arr) {
auto ret = countTree.Find (str);
if (ret == NULL ) {
countTree.Insert (str, 1 );
} else {
ret->_value++;
}
}
countTree.InOrder ();
return 0 ;
}
