一、简介
ω-K（omega-K、Ω-K）算法又称波数域算法或距离徙动算法（RMA），是一种基于二维频域精确处理的合成孔径雷达成像算法。其核心思想是通过波数域映射，将球面波前转换为平面波前，实现距离徙动与方位调频的精确解耦。
算法流程主要分为六个步骤：首先对原始回波进行距离向傅里叶变换，转换到距离频域。随后进行方位向傅里叶变换，得到二维频域信号，此时目标的相位历程表现为包含平方根项的耦合形式。接着，乘以参考函数完成距离压缩并补偿参考距离的相位，使残余相位仅与目标距离差相关。最关键的是 Stolt 插值（变换），通过坐标变换将数据从球面域重采样到平面域，将非线性相位转换为线性相位。最后，进行二维逆傅里叶变换，直接输出聚焦良好的复图像。
该算法的最大优势在于其理论精确性，通过一次频域插值统一校正所有距离徙动，无需任何近似假设，特别适用于大斜视、宽波束和高分辨率场景。虽然 Stolt 插值计算量较大，但算法在成像精度方面具有显著优势，成为星载 SAR 高精度成像的标准选择之一。
二、推导
1. 信号模型
合成孔径雷达（SAR）采用线性调频信号（chirp），平台沿直线运动，速度为 $v$。设目标最近斜距为 $R_0$，斜距历程为：
$$R(\eta) = \sqrt{R_0^2 + v^2 \eta^2}$$
其中 $\eta$ 为方位慢时间（毫秒级，一般用来描述雷达平台沿航迹的移动过程）。雷达接收的基频信号（解调后）为：
$$s(\eta, \tau) = A \cdot p_r\left( \tau - \frac{2R(\eta)}{c} \right) \times p_a(\eta) \times \exp\left( -j\frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} \right) \times \exp\left[ j\pi K_r \left( \tau - \frac{2R(\eta)}{c} \right)^2 \right]$$
- $p_a$：方位包络（窗函数）
- $p_r$：距离包络（窗函数）
- $c$：光速
- $K_r$：距离向调频率
- $f_0$：载频频率
- $\tau$：距离快时间（描述距离向的时间，微秒级，特指电磁波在单个脉冲内的传播与变化）
由于常数只是对信号进行缩放，本身不影响什么。且由于 SAR 成像算法的本质是相位补偿，窗函数仅影响信号的幅度包络、频谱的旁瓣特性、积分旁瓣比（ISLR）和峰值旁瓣比（PSLR）。也就代表窗函数不改变聚焦点的位置、聚焦的主瓣宽度理论极限、距离徙动曲线的形状。
因此，在我们研究中可以忽略窗函数，专注于其相位的变化，于是我们可以忽略常数幅度和窗函数，重点分析相位项：
$$s(\eta, \tau) = \exp\left( -j\frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} \right) \cdot \exp\left[ j\pi K_r \left( \tau - \frac{2R(\eta)}{c} \right)^2 \right]$$
物理含义：
第二项是线性调频信号，其中心延时随 $R(\eta)$ 变化，这是导致距离徙动的原因。 第一项是载频引起的方位相位历程，这个相位变化是由雷达与目标的相对运动引起的，与雷达信号的载波频率直接相关。
$t=\frac{2R(0)}{c}$ 代表双程时延（即信号从发射端到目标再返回接收端的时间），$2\pi \times f_0 \times t$ 即其相位。
2. 距离向傅里叶变换
距离向发射的是线性调频信号（chirp），其本质是频率随时间线性变化的信号。所以要先通过距离向 FFT，将信号转换到距离频域。在距离频域中，距离徙动表现为简单的相位形式，此时二维耦合相位可以更清晰地表达为距离频率 $f_\tau$ 和方位时间 $\eta$ 的函数，也方便后续更深一步的处理。
因此，先对距离向 $\tau$ 做傅里叶变换：
$$S(\eta, f_\tau) = \int s(\eta, \tau) \exp(-j2\pi f_\tau \tau) d\tau$$
其中 $f_\tau$ 为距离频率，代入上述已推导出公式 $s(\eta, \tau) = \exp\left[-j\frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} + j\pi K_r \left(\tau - \frac{2R(\eta)}{c}\right)^2\right]$ 能够合并指数项得被积相位为：
$$\Phi(\tau) = \pi K_r \left( \tau - \frac{2R(\eta)}{c} \right)^2 - \frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} - 2\pi f_\tau \tau$$
利用驻定相位原理（POSP），驻点 $\tau_0$ 满足 $\frac{d\Phi}{d\tau}=0$，则有：
$$2\pi K_r \left( \tau_0 - \frac{2R(\eta)}{c} \right) - 2\pi f_\tau = 0$$
解得 $\tau_0 = \frac{2R(\eta)}{c} + \frac{f_\tau}{K_r}$，代入 $\Phi(\tau)$ 得：
$$\Phi(\tau_0) = \pi K_r \left( \frac{f_\tau}{K_r} \right)^2 - \frac{4\pi f_0 R(\eta)}{c} - 2\pi f_\tau \left( \frac{2R(\eta)}{c} + \frac{f_\tau}{K_r} \right)$$
